Matematică #082 Subiecte Admitere 2026 Algebră și Analiză Politehnica București

Question 1

Să se rezolve ecuația 3^x+1+3^x=12.

Accepted Answer

B) x=1. 3^x+1+3^x=3· 3^x+3^x=4· 3^x=12⇒ 3^x=3⇒ x=1.

Answer

x=3

Answer

x=2

Answer

x=-2

Answer

x=-1

Answer

x=0

Question 2

Se consideră funcția bijectivă f:ℝ→(-1,1), f(x)=(e^x-1)/(e^x+1). Să se calculeze I=∫_0^ln 2 f(x) dx+∫_0^(1)/(3) f^-1(x) dx, unde f^-1 este inversa funcției f.

Accepted Answer

E) (1)/(3)ln 2. Funcția f este continuă și strict crescătoare, cu f(0)=0 și f(ln 2)=(2-1)/(2+1)=dfrac13. Pentru o astfel de funcție, ∫_0^a f(x) dx+∫_f(0)^f(a) f^-1(y) dy=a f(a)-0· f(0) (aria de sub grafic plus aria de la stânga lui completează dreptunghiul a× f(a)). Cu a=ln 2: I=ln 2·dfrac13=dfrac13ln 2.

Answer

(1)/(3)ln 3

Answer

ln(2)/(3)

Answer

ln(3)/(2)

Answer

(1)/(2)ln 3

Answer

(1)/(2)ln 2

Question 3

Fie funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=e^x+x^3+x. Să se calculeze f'(1).

Accepted Answer

E) e+4. f'(x)=e^x+3x^2+1, deci f'(1)=e+3+1=e+4.

Answer

e

Answer

e+2

Answer

e+1

Answer

0

Answer

e+3

Question 4

Fie P∈ℝ[X], un polinom de gradul 25, astfel încât P(n)=(1)/(n+1), pentru orice n∈{0,1,2,…,25}. Dacă x_1,x_2,…,x_25 sunt rădăcinile polinomului P, să se calculeze suma S=Σ_k=1^25(1)/(x_k).

Accepted Answer

C) (25)/(26). Polinomul Q(X)=(X+1)P(X)-1 are gradul 26 și se anulează în 0,1,…,25, deci Q(X)=c X(X-1)…(X-25). Din Q(-1)=-1 și (-1)(-2)…(-26)=26! rezultă c=-(1)/(26!). Din relațiile lui Viète, S=-(P'(0))/(P(0)), cu P(0)=1. Derivând Q=(X+1)P-1 în 0: Q'(0)=P(0)+P'(0), iar Q'(0)=c·(-1)(-2)…(-25)=(25!)/(26!)=(1)/(26). Deci P'(0)=(1)/(26)-1=-(25)/(26) și S=(25)/(26).

Answer

(26)/(27)

Answer

(26)/(25)

Answer

(27)/(26)

Answer

(24)/(25)

Answer

(25)/(24)

Question 5

Se consideră ecuația x^2-5x+6=0, cu soluțiile x_1 și x_2. Să se calculeze suma S=x_1^2+x_2^2.

Accepted Answer

E) S=13. Din relațiile lui Viète, x_1+x_2=5 și x_1x_2=6, deci S=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=25-12=13.

Answer

S=-37

Answer

S=25

Answer

S=37

Answer

S=5

Answer

S=11

Matematică #082 Subiecte Admitere 2026 Algebră și Analiză Politehnica București

Alte subiecte de matematică

Seturi la întâmplare