[canonical]: https://grile.online/matematica/volumul-corpurilor-de-rotatie

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/volumul-corpurilor-de-rotatie
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Volumul corpurilor de rotație · Matematică

5 grile, în 2 seturi, cu explicații.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a subgraficului funcției $f:[0,1]\to\mathbb R$, $f(x)=e^{-x}$, este:

a) $\dfrac{\pi\left(1-e^{-1}\right)}{2}$
b) $\pi\left(1-e^{-1}\right)$
c) $\pi\left(1-e^{-2}\right)$
d) $\dfrac{\pi\left(1-e^{-2}\right)}{2}$

Răspuns corect: d) $\dfrac{\pi\left(1-e^{-2}\right)}{2}$

$$V=\pi\int_0^1 e^{-2x}dx=\pi\left.\left(-\frac{e^{-2x}}{2}\right)\right|_0^1=\pi\left(-\frac{e^{-2}}{2}+\frac12\right)=\frac{\pi\left(1-e^{-2}\right)}{2}.$$

Numeric: $\approx\dfrac{\pi\cdot 0{,}8647}{2}\approx 1{,}358$.

Observație: ridicarea la pătrat dublează exponentul ($e^{-2x}$), iar integrarea introduce factorul $\dfrac12$ — ambele sunt ușor de ratat.

2. Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Oy$ a subgraficului funcției $f(x)=x^2$, $x\in[0,2]$, prin metoda straturilor cilindrice, este:

a) $8\pi$
b) $4\pi$
c) $32\pi$
d) $\dfrac{8\pi}{3}$

Răspuns corect: a) $8\pi$

$$V=2\pi\int_0^2 x\cdot x^2\,dx=2\pi\int_0^2 x^3\,dx=2\pi\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2=2\pi\cdot4=8\pi.$$

3. Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Oy$ a suprafeței cuprinse între graficele $y=2x$ și $y=x^2$, pe $[0,2]$, prin metoda straturilor cilindrice, este:

a) $\dfrac{8\pi}{3}$
b) $-\dfrac{8\pi}{3}$
c) $\dfrac{4\pi}{3}$
d) $\dfrac{32\pi}{3}$

Răspuns corect: a) $\dfrac{8\pi}{3}$

Pe $[0,2]$, $2x\ge x^2$, deci înălțimea stratului este $2x-x^2$:
$$V=2\pi\int_0^2 x\bigl(2x-x^2\bigr)\,dx=2\pi\int_0^2\bigl(2x^2-x^3\bigr)\,dx=2\pi\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^2.$$

$$V=2\pi\left(\frac{16}{3}-4\right)=2\pi\cdot\frac{4}{3}=\frac{8\pi}{3}.$$

4. Volumul corpului determinat de rotația graficului funcției $f:[1,3]\to\mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2-1}$, în jurul axei $Ox$ este:

a) $2\pi$
b) $\dfrac{\pi}{6}$
c) $\dfrac{\pi}{12}$
d) $\dfrac{20\pi}{3}$

Răspuns corect: d) $\dfrac{20\pi}{3}$

$V=\pi\displaystyle\int_1^3(x^2-1)\,dx=\pi\left[\dfrac{x^3}{3}-x\right]_1^3=\pi\left[(9-3)-\left(\dfrac{1}{3}-1\right)\right]=\pi\left(6+\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{20\pi}{3}$.

5. Volumul $V$ al corpului obținut prin rotația graficului funcției $f:[0,2]\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x-x^2$, în jurul axei $Ox$ este:

a) $V=\dfrac{16\pi}{15}$
b) $V=\pi+1$
c) $V=2\pi$
d) $V=\dfrac{\pi}{3}$

Răspuns corect: a) $V=\dfrac{16\pi}{15}$

$V=\pi\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)^2\,dx=\pi\int_0^2\left(4x^2-4x^3+x^4\right)dx=\pi\left[\dfrac{4x^3}{3}-x^4+\dfrac{x^5}{5}\right]_0^2$.

$=\pi\left(\dfrac{32}{3}-16+\dfrac{32}{5}\right)=\pi\left(\dfrac{160-240+96}{15}\right)=\dfrac{16\pi}{15}$.

## Seturi care conțin acest capitol

- [Matematică #016](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-12-integrale-definite)
- [Matematică #019](https://grile.online/matematica/rezolva?set=mate-adm-atm)