[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/subiecte-admitere-academia-tehnica-militara-2023-2025

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/subiecte-admitere-academia-tehnica-militara-2023-2025
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Matematică #019 · Subiecte Admitere Academia Tehnică Militară 2023–2025

20 grile, din Derivate, Determinanți, Funcția de gradul al II-lea, cu explicații. Transcrise din Subiecte Admitere Academia Tehnică Militară 2023–2025. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 20 grile dintr-o dată, ca la examen.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Valoarea limitei $\ell = \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{4x}-e^{3x}}{e^{3x}-e^{x}}$ este:

a) $-3$
b) $\infty$
c) $e^{5}$
d) $\dfrac{1}{2}$

Răspuns corect: d) $\dfrac{1}{2}$

Pentru $x\to 0$: $e^{4x}-e^{3x}=e^{3x}(e^{x}-1)\sim 1\cdot x=x$, iar $e^{3x}-e^{x}=e^{x}(e^{2x}-1)\sim 1\cdot 2x=2x$.

Deci $\ell=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1}{2}$.

2. Volumul corpului determinat de rotația graficului funcției $f:[1,3]\to\mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^2-1}$, în jurul axei $Ox$ este:

a) $2\pi$
b) $\dfrac{\pi}{6}$
c) $\dfrac{\pi}{12}$
d) $\dfrac{20\pi}{3}$

Răspuns corect: d) $\dfrac{20\pi}{3}$

$V=\pi\displaystyle\int_1^3(x^2-1)\,dx=\pi\left[\dfrac{x^3}{3}-x\right]_1^3=\pi\left[(9-3)-\left(\dfrac{1}{3}-1\right)\right]=\pi\left(6+\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{20\pi}{3}$.

3. Fie ecuația $x^4+4x^3-2x^2-12x+p=0$, $p\in\mathbb{R}$. Suma tuturor valorilor parametrului real $p$ pentru care ecuația are o rădăcină dublă negativă este:

a) $0$
b) $2$
c) $-12$
d) $32$

Răspuns corect: b) $2$

Fie $f(x)=x^4+4x^3-2x^2-12x+p$. O rădăcină dublă $r$ satisface $f'(r)=0$.

$f'(x)=4x^3+12x^2-4x-12=4(x^2(x+3)-(x+3))=4(x+3)(x^2-1)=4(x+3)(x-1)(x+1)$.

Rădăcinile lui $f'$ sunt $-3,\,1,\,-1$; cele negative sunt $r=-3$ și $r=-1$.

Pentru fiecare, $p=-\big(r^4+4r^3-2r^2-12r\big)$ din $f(r)=0$.

$r=-3$: $81-108-18+36=-9\Rightarrow p=9$.

$r=-1$: $1-4-2+12=7\Rightarrow p=-7$.

Suma valorilor lui $p$: $9+(-7)=2$.

4. Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție $x*y=2xy+3x+3y+3$. Elementele mulțimii $M=\{x\in\mathbb{R}\mid x*x=-1\}$ sunt:

a) $M=\{2,5\}$
b) $M=\{0,4\}$
c) $M=\{-2,-1\}$
d) $M=\{2,8\}$

Răspuns corect: c) $M=\{-2,-1\}$

$x*x=2x^2+6x+3=-1\Rightarrow 2x^2+6x+4=0\Rightarrow x^2+3x+2=0\Rightarrow(x+1)(x+2)=0$.

Deci $x=-1$ sau $x=-2$, adică $M=\{-2,-1\}$.

5. Fie progresia aritmetică $(a_n)_{n\ge 1}$, în care $a_1=5$ și rația $r=2$. Suma primilor cinci termeni ai progresiei este:

a) $45$
b) $20$
c) $18$
d) $-15$

Răspuns corect: a) $45$

Termenii: $5,7,9,11,13$.

$S_5=5+7+9+11+13=45$.