[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/model-evaluare-nationala-065

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/model-evaluare-nationala-065
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Matematică #065 · Model Evaluare Națională

10 grile, din Asemănare, Trigonometrie de bază, cu explicații. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Dreptele $AA'$, $BB'$ și $CC'$ sunt paralele, tăiate de două secante, cu $B$ între $A$ și $C$, respectiv $B'$ între $A'$ și $C'$. Se cunosc $AB=6\,\text{cm}$, $BC=9\,\text{cm}$ și $A'B'=4\,\text{cm}$. Conform teoremei lui Thales, lungimea $B'C'$ este:

a) $4\,\text{cm}$
b) $24\,\text{cm}$
c) $6\,\text{cm}$
d) $9\,\text{cm}$

Răspuns corect: c) $6\,\text{cm}$

Teorema lui Thales dă proporția $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{A'B'}{B'C'}$, deci $\dfrac{6}{9}=\dfrac{4}{B'C'}\Rightarrow B'C'=\dfrac{4\cdot9}{6}=6\,\text{cm}$.

2. În triunghiul $ABC$, punctul $D$ este pe latura $AB$, iar $E$ este pe latura $AC$, cu $DE \parallel BC$. Se știe că $AD=4\,\text{cm}$, $DB=6\,\text{cm}$ și $AC=15\,\text{cm}$. Lungimea $AE$ este:

a) $9\,\text{cm}$
b) $6\,\text{cm}$
c) $60\,\text{cm}$
d) $10\,\text{cm}$

Răspuns corect: b) $6\,\text{cm}$

Cum $DE \parallel BC$, teorema lui Thales dă $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$, cu $AB=AD+DB=10\,\text{cm}$. Astfel, $AE=\dfrac{AD\cdot AC}{AB}=\dfrac{4\cdot15}{10}=6\,\text{cm}$.

3. Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt asemenea, cu raportul de asemănare $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{3}{4}$. Dacă $AB=12\,\text{cm}$, atunci $DE$ este:

a) $9\,\text{cm}$
b) $16\,\text{cm}$
c) $4\,\text{cm}$
d) $12\,\text{cm}$

Răspuns corect: b) $16\,\text{cm}$

Din $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{3}{4}$ rezultă $DE=\dfrac{AB\cdot4}{3}=\dfrac{12\cdot4}{3}=16\,\text{cm}$.

4. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în $A$, cateta opusă unghiului $B$ are lungimea $6\,\text{cm}$, iar ipotenuza are lungimea $10\,\text{cm}$. Valoarea $\sin B$ este:

a) $\dfrac{4}{5}$
b) $\dfrac{3}{5}$
c) $\dfrac{6}{8}$
d) $\dfrac{5}{3}$

Răspuns corect: b) $\dfrac{3}{5}$

$\sin B=\dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$. Cateta alăturată este $\sqrt{10^2-6^2}=8\,\text{cm}$, iar $\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{10}$ ar fi $\cos B$, nu $\sin B$.

5. Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt asemenea, cu raportul de asemănare $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{2}{3}$. Dacă perimetrul triunghiului $ABC$ este $18\,\text{cm}$, atunci perimetrul triunghiului $DEF$ este:

a) $18\,\text{cm}$
b) $9\,\text{cm}$
c) $27\,\text{cm}$
d) $12\,\text{cm}$

Răspuns corect: c) $27\,\text{cm}$

Raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare, deci $\dfrac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow P_{DEF}=\dfrac{18\cdot3}{2}=27\,\text{cm}$.