[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/model-bac-matematica-m1-002

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/model-bac-matematica-m1-002
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Matematică #002 · Model BAC Matematică M1

10 grile, din Matrice, Determinanți, Sisteme liniare, cu explicații. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie $f(x) = C_x^3 + \log_2(x+1)$ și matricea

$$A = \begin{pmatrix} f(3) & \tg\dfrac{\pi}{4} & 2^{\lim_{x\to\infty} \frac{x^{23}}{x!}} \\ \dfrac{f(7)}{38} & \log_{\sqrt{3}} f(3) & i^4 \\ \lg 10^{-48} & P_4 & \ln 1 \end{pmatrix}$$

Calculați $\det(A)$.

a) $0$
b) $24$
c) $-72$
d) $48$
e) $-24$
f) $72$

Răspuns corect: a) $0$

Toate elementele se reduc la numere mici ($f(3)=3$, $f(7)/38=1$, $\tg\dfrac{\pi}{4}=1$ etc.), dând matricea numerică $\begin{pmatrix}3&1&1\\1&2&1\\-48&24&0\end{pmatrix}$; dezvoltarea după prima linie dă $\det A = 3(-24) - 1(48) + 1(120) = 0$.

2. Pentru ce valori $m \in \mathbb{R}$ este matricea

$$A = \begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m \end{pmatrix}$$

singulară?

a) $m = 0$ singur
b) $m \in \{-\sqrt{2},\, 0,\, \sqrt{2}\}$
c) $m \in \{-1,\, 0,\, 1\}$
d) $m = \sqrt{2}$ singur
e) $m \in \{-2,\, 0,\, 2\}$
f) niciun $m$ real

Răspuns corect: b) $m \in \{-\sqrt{2},\, 0,\, \sqrt{2}\}$

Dezvoltând după primul rând, $\det A = m(m^2-1) - 1\cdot(m-0) = m^3 - 2m = m(m^2-2)$, care se anulează pentru $m \in \{-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\}$.

3. Fie

$$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculați $\det(5A^{-1})$.

a) $5$
b) $\dfrac{5}{125}$
c) $125$
d) $\dfrac{1}{5}$
e) $25$
f) $\dfrac{125}{25}$

Răspuns corect: e) $25$

Dezvoltând după prima linie, $\det A = 5$; cum $\det(cM) = c^n \det M$ și $\det(M^{-1}) = 1/\det M$ pentru $n = 3$, rezultă $\det(5A^{-1}) = 5^3 \cdot \dfrac{1}{5} = 25$.

4. Pentru ce valoare $m \in \mathbb{R}$ sistemul

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + my + z = 2 \\ x + y + mz = 3 \end{cases}$$

nu are soluție?

a) $m = 1$
b) $m = 0$
c) $m = -1$
d) $m = 2$
e) $m = -2$
f) $m \in \{1,\, -2\}$

Răspuns corect: a) $m = 1$

Determinantul matricei coeficienților este $(m-1)^2$, deci se anulează doar la $m = 1$; acolo toate cele trei ecuații ar cere ca $x+y+z$ să fie deodată $1$, $2$ și $3$, ceea ce e imposibil — sistemul e incompatibil exact când $m = 1$.

5. Rezolvați sistemul

$$\begin{cases} \dfrac{3xy}{x+y} = 5 \\[4pt] \dfrac{2xz}{x+z} = 3 \\[4pt] \dfrac{yz}{y+z} = 4 \end{cases}$$

și determinați $x + y + z$.

a) $10$
b) $\frac{91}{60}$
c) $\frac{120}{61} + \frac{120}{11} + \frac{120}{19}$
d) $\frac{43}{4}$
e) $\frac{91}{120}$
f) $\frac{120}{91}$

Răspuns corect: c) $\frac{120}{61} + \frac{120}{11} + \frac{120}{19}$

Notând $a=1/x$, $b=1/y$, $c=1/z$, sistemul devine $a+b=\dfrac{3}{5}$, $a+c=\dfrac{2}{3}$, $b+c=\dfrac{1}{4}$; adunând toate trei dă $a+b+c=\dfrac{91}{120}$, de unde $a=\dfrac{61}{120}$, $b=\dfrac{11}{120}$, $c=\dfrac{19}{120}$ și $x+y+z = \dfrac{120}{61}+\dfrac{120}{11}+\dfrac{120}{19}$.