[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/model-admitere-politehnica-bucuresti-087

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/model-admitere-politehnica-bucuresti-087
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Model Admitere Politehnica București · Matematică #087

10 grile din Derivate, Funcția de gradul I, Sisteme liniare, cu explicații. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Original, în stilul Admitere Politehnica București

## Teaser gratuit, fără cont

1. Să se rezolve în $\mathbb{R}$ inecuația $2x-1>x+2$.

a) $x\in\varnothing$
b) $x\in\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}\right)$
c) $x\in(1,2)$
d) $x\in\left(\dfrac{1}{3},1\right)$
e) $x\in(3,+\infty)$
f) $x\in(2,3)$

Răspuns corect: e) $x\in(3,+\infty)$

Scădem $x$ din ambii membri și adunăm $1$: $2x-x>2+1$, adică $x>3$. Mulțimea soluțiilor este intervalul $(3,+\infty)$; coeficientul lui $x$ rămâne pozitiv, deci sensul inegalității nu se schimbă.

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, AC/ETTI, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta 2 (iulie), itemul 2 · cheie din baremul oficial

2. Să se calculeze $I=\displaystyle\int_0^1\left(3x^2+2x\right)dx$.

a) $I=\dfrac{2}{5}$
b) $I=0$
c) $I=2$
d) $I=\dfrac{1}{3}$
e) $I=3$
f) $I=5$

Răspuns corect: c) $I=2$

O primitivă a funcției $3x^2+2x$ este $x^3+x^2$, deci, după formula Leibniz–Newton, $I=\left(x^3+x^2\right)\Big|_0^1=(1+1)-0=2$. Valoarea $5$ ar fi integrandul evaluat în $x=1$, nu integrala.

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, AC/ETTI, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta 2 (iulie), itemul 9 · cheie din baremul oficial

3. Fie sistemul $\begin{cases}x+y+z=3\\ x+my+z=4\\ x+y+mz=5\end{cases}$, unde $m$ este un parametru real. Pentru câte valori $m\in\mathbb{Z}$ sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$, cu componentele numere întregi?

a) $0$
b) $1$
c) $2$
d) $3$
e) $4$
f) $\text{o infinitate}$

Răspuns corect: c) $2$

Determinantul sistemului este $\Delta=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{vmatrix}=(m-1)^2$, nenul pentru $m\neq1$, deci atunci soluția e unică. Scăzând prima ecuație din a doua și din a treia: $(m-1)y=1$ și $(m-1)z=2$, deci $y_0=\dfrac{1}{m-1}$, $z_0=\dfrac{2}{m-1}$, iar $x_0=3-y_0-z_0=3-\dfrac{3}{m-1}$.

$y_0\in\mathbb{Z}$ cere $(m-1)\mid1$, adică $m-1\in\{-1,1\}$, deci $m\in\{0,2\}$; pentru ambele, $z_0=\pm2$ și $x_0\in\{6,0\}$ sunt tot întregi. Așadar există $2$ valori ale lui $m$.

[Grilă originală Grile](https://grile.online/cum-verificam)

4. Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $x^2-8x+15=0$ este:

a) $\{-5,-3\}$
b) $\{1,15\}$
c) $\{2,6\}$
d) $\{3\}$
e) $\{3,5\}$
f) $\{-3,5\}$

Răspuns corect: e) $\{3,5\}$

$\Delta=64-60=4$, deci $x_{1,2}=\dfrac{8\pm2}{2}$, adică $x_1=3$ și $x_2=5$. Verificare cu relațiile lui Viète: $3+5=8$ și $3\cdot5=15$.

[Grilă originală Grile](https://grile.online/cum-verificam)

5. Ecuația $\log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3$ are soluția:

a) $x=-3$
b) $x=2$
c) $x=\sqrt{7}$
d) $x=3$
e) $x=4$
f) $x=9$

Răspuns corect: d) $x=3$

Condiții de existență: $x+1>0$ și $x-1>0$, deci $x>1$. Suma logaritmilor în aceeași bază este logaritmul produsului: $\log_2\big((x+1)(x-1)\big)=3$, adică $x^2-1=2^3=8$, deci $x^2=9$ și $x=\pm3$.

$x=-3$ nu verifică $x>1$, iar $x=3$ verifică: $\log_2 4+\log_2 2=2+1=3$. Singura soluție este $x=3$.

[Grilă originală Grile](https://grile.online/cum-verificam)