Matematică #087 Model Admitere Politehnica București
1/5
00:00
Să se rezolve în R inecuația 2x−1>x+2.
Să se rezolve în R inecuația 2x−1>x+2.
x∈∅
x∈(31,21)
x∈(1,2)
x∈(31,1)
x∈(3,+∞)
x∈(2,3)
Scădem x din ambii membri și adunăm 1: 2x−x>2+1, adică x>3. Mulțimea soluțiilor este intervalul (3,+∞); coeficientul lui x rămâne pozitiv, deci sensul inegalității nu se schimbă.
Să se calculeze I=∫01(3x2+2x)dx.
I=52
I=0
I=2
I=31
I=3
I=5
O primitivă a funcției 3x2+2x este x3+x2, deci, după formula Leibniz–Newton, I=(x3+x2)01=(1+1)−0=2. Valoarea 5 ar fi integrandul evaluat în x=1, nu integrala.
Fie sistemul ⎩⎨⎧x+y+z=3x+my+z=4x+y+mz=5unde m este un parametru real. Pentru câte valori m∈Z sistemul are soluție unică (x0,y0,z0), cu componentele numere întregi?
0
1
2
3
4
o infinitate
Determinantul sistemului este Δ=1111m111m=(m−1)2nenul pentru m=1, deci atunci soluția e unică. Scăzând prima ecuație din a doua și din a treia: (m−1)y=1 și (m−1)z=2, deci y0=m−11, z0=m−12, iar x0=3−y0−z0=3−m−13.y0∈Z cere (m−1)∣1, adică m−1∈{−1,1}, deci m∈{0,2}; pentru ambele, z0=±2 și x0∈{6,0} sunt tot întregi. Așadar există 2 valori ale lui m.
Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației x2−8x+15=0 este:
{−5,−3}
{1,15}
{2,6}
{3}
{3,5}
{−3,5}
Δ=64−60=4, deci x1,2=28±2, adică x1=3 și x2=5. Verificare cu relațiile lui Viète: 3+5=8 și 3⋅5=15.
Ecuația log2(x+1)+log2(x−1)=3 are soluția:
x=−3
x=2
x=7
x=3
x=4
x=9
Condiții de existență: x+1>0 și x−1>0, deci x>1. Suma logaritmilor în aceeași bază este logaritmul produsului: log2((x+1)(x−1))=3, adică x2−1=23=8, deci x2=9 și x=±3.x=−3 nu verifică x>1, iar x=3 verifică: log24+log22=2+1=3. Singura soluție este x=3.