[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-universitatea-din-bucuresti-2019-iulie-calculatoare-si-tehnologia-informatiei-varianta-2-197

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-universitatea-din-bucuresti-2019-iulie-calculatoare-si-tehnologia-informatiei-varianta-2-197
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Universitatea din București 2019 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 2 · Matematică #197

10 grile din Derivate, Aplicații ale derivatelor, Integrala definită, cu explicații. Transcrise din Admitere Universitatea din București 2019 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 2. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Universitatea din București 2019 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 2)

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie funcția $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$, $f(x)=x+\cos x$, pentru orice $x\in\mathbb{R}$. Notăm cu $f^{-1}$ inversa funcției $f$. Atunci $(f^{-1})'(1)$ este:

a) $\frac{1}{1-\sin 1}$
b) $1$
c) $1-\sin 1$
d) $1+\cos 1$

Răspuns corect: b) $1$

Avem $f(0)=0+\cos 0=1$, deci $f^{-1}(1)=0$. Cum $f'(x)=1-\sin x$, formula derivatei inversei dă

$$(f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(1)\right)}=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{1-\sin 0}=1.$$

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 20 iulie 2019, Varianta 2, Matematică, itemul 1

2. Fie $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x^2+ax+7}{\sqrt{x^2+2}}$, unde $a\in\mathbb{R}$. Mulțimea tuturor valorilor parametrului $a$ pentru care funcția are trei puncte de extrem local este:

a) $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$
b) $(-\infty,1)$
c) $(1,+\infty)$
d) $(-1,1)$

Răspuns corect: d) $(-1,1)$

Derivând, $f'(x)=\dfrac{(2x+a)(x^2+2)-x(x^2+ax+7)}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{x^3-3x+2a}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}$, deci semnul lui $f'$ este semnul lui $g(x)=x^3-3x+2a$.

Funcția are trei puncte de extrem exact când $g$ are trei rădăcini reale simple. Cum $g'(x)=3x^2-3$, valorile extreme ale lui $g$ sunt $g(-1)=2+2a$ (maxim) și $g(1)=-2+2a$ (minim); trebuie $g(-1)>0>g(1)$, adică $-1<a<1$. Pentru $a=\pm1$, $g$ are o rădăcină dublă în care $f'$ nu schimbă semnul, deci rămân doar două extreme.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 20 iulie 2019, Varianta 2, Matematică, itemul 2

3. Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}\int_0^x\left(e^{t^2}-\cos t\right)dt$ este:

a) $-\frac{3}{2}$
b) $0$
c) $\frac{1}{3}$
d) $\frac{1}{2}$

Răspuns corect: d) $\frac{1}{2}$

Limita este de forma $\frac{0}{0}$. Cu regula lui l'Hôpital (derivata integralei în raport cu limita superioară este integrandul):

$$\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x^2}-1}{3x^2}+\frac{1-\cos x}{3x^2}\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.$$

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 20 iulie 2019, Varianta 2, Matematică, itemul 3

4. Fie $f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\longrightarrow\mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-2}{x+1}$ pentru orice $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

Atunci suma absciselor punctelor de pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta $y=5x$ este:

a) $-2$
b) $-1$
c) $1$
d) $0$

Răspuns corect: a) $-2$

Tangenta este paralelă cu $y=5x$ când $f'(x)=5$. Avem $f'(x)=\dfrac{2x(x+1)-(x^2-2)}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}$.

Ecuația $x^2+2x+2=5(x+1)^2$ devine $4x^2+8x+3=0$, cu rădăcinile $-\frac{3}{2}$ și $-\frac{1}{2}$ (ambele diferite de $-1$). Suma lor este $-2$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 20 iulie 2019, Varianta 2, Matematică, itemul 4

5. Fie $a_n=n\displaystyle\int_{4n-1}^{4n}\frac{1}{1+|x-2n|}\,dx$ pentru orice număr natural $n\ge1$. Atunci $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ este:

a) $0$
b) $\frac{1}{4}$
c) $\frac{1}{2}$
d) $\sqrt{e}$

Răspuns corect: c) $\frac{1}{2}$

Pe intervalul $[4n-1,4n]$ avem $x-2n\ge2n-1>0$, deci $|x-2n|=x-2n$ și

$$a_n=n\ln\frac{1+2n}{2n}=n\ln\left(1+\frac{1}{2n}\right).$$

Cum $\ln(1+u)\sim u$ când $u\to0$, rezultă $a_n\to n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 20 iulie 2019, Varianta 2, Matematică, itemul 5