Fie funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=x+cos x, pentru orice x∈ℝ. Notăm cu f^-1 inversa funcției f. Atunci (f^-1)'(1) este:

B) 1. Avem f(0)=0+cos 0=1, deci f^-1(1)=0. Cum f'(x)=1-sin x, formula derivatei inversei dă (f^-1)'(1)=frac1f'(f^-1(1))=(1)/(f'(0))=(1)/(1-sin 0)=1.

Fie f:ℝ→ℝ, f(x)=(x^2+ax+7)/(√(x^2+2)), unde a∈ℝ. Mulțimea tuturor valorilor parametrului a pentru care funcția are trei puncte de extrem local este:

D) (-1,1). Derivând, f'(x)=((2x+a)(x^2+2)-x(x^2+ax+7))/((x^2+2)√(x^2+2))=(x^3-3x+2a)/((x^2+2)√(x^2+2)), deci semnul lui f' este semnul lui g(x)=x^3-3x+2a. Funcția are trei puncte de extrem exact când g are trei rădăcini reale simple. Cum g'(x)=3x^2-3, valorile extreme ale lui g sunt g(-1)=2+2a (maxim) și g(1)=-2+2a (minim); trebuie g(-1)>0>g(1), adică -1<a<1. Pentru a=±1, g are o rădăcină dublă în care f' nu schimbă semnul, deci rămân doar două extreme.

Valoarea limitei lim_x→0(1)/(x^3)∫_0^x(e^t^2-cos t)dt este:

D) (1)/(2). Limita este de forma (0)/(0). Cu regula lui l'Hôpital (derivata integralei în raport cu limita superioară este integrandul): lim_x→0frace^x^2-cos x3x^2=lim_x→0(frace^x^2-13x^2+(1-cos x)/(3x^2))=(1)/(3)+(1)/(6)=(1)/(2).

Fie f:ℝ∖{-1}→ℝ, f(x)=(x^2-2)/(x+1) pentru orice x∈ℝ∖{-1}. Atunci suma absciselor punctelor de pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y=5x este:

A) -2. Tangenta este paralelă cu y=5x când f'(x)=5. Avem f'(x)=(2x(x+1)-(x^2-2))/((x+1)^2)=(x^2+2x+2)/((x+1)^2). Ecuația x^2+2x+2=5(x+1)^2 devine 4x^2+8x+3=0, cu rădăcinile -(3)/(2) și -(1)/(2) (ambele diferite de -1). Suma lor este -2.

Fie a_n=n∫_4n-1^4n(1)/(1+|x-2n|) dx pentru orice număr natural n≥1. Atunci lim_n→∞a_n este:

C) (1)/(2). Pe intervalul [4n-1,4n] avem x-2n≥2n-1>0, deci |x-2n|=x-2n și a_n=nln(1+2n)/(2n)=nln(1+(1)/(2n)). Cum ln(1+u)~ u când u→0, rezultă a_n→ n·(1)/(2n)=(1)/(2).

Grile Derivate · Matematică admitere UB 2019

1/5

00:00

Fie funcția

f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}

,

f(x)=x+\cos x

, pentru orice

x\in\mathbb{R}

. Notăm cu

f^{-1}

inversa funcției

f

. Atunci

(f^{-1})'(1)

este:

Fie funcția $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ , $f(x)=x+\cos x$ , pentru orice $x\in\mathbb{R}$ . Notăm cu $f^{-1}$ inversa funcției $f$ . Atunci $(f^{-1})'(1)$ este:
1. $\frac{1}{1-\sin 1}$
2. $1$
3. $1-\sin 1$
4. $1+\cos 1$
Avem $f(0)=0+\cos 0=1$ , deci $f^{-1}(1)=0$ . Cum $f'(x)=1-\sin x$ , formula derivatei inversei dă $(f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(1)\right)}=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{1-\sin 0}=1.$
Fie $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{x^2+ax+7}{\sqrt{x^2+2}}$ , unde $a\in\mathbb{R}$ . Mulțimea tuturor valorilor parametrului $a$ pentru care funcția are trei puncte de extrem local este:
1. $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$
2. $(-\infty,1)$
3. $(1,+\infty)$
4. $(-1,1)$
Derivând, $f'(x)=\dfrac{(2x+a)(x^2+2)-x(x^2+ax+7)}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{x^3-3x+2a}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}$ , deci semnul lui $f'$ este semnul lui $g(x)=x^3-3x+2a$ .Funcția are trei puncte de extrem exact când $g$ are trei rădăcini reale simple. Cum $g'(x)=3x^2-3$ , valorile extreme ale lui $g$ sunt $g(-1)=2+2a$ (maxim) și $g(1)=-2+2a$ (minim); trebuie $g(-1)>0>g(1)$ , adică $-1<a<1$ . Pentru $a=\pm1$ , $g$ are o rădăcină dublă în care $f'$ nu schimbă semnul, deci rămân doar două extreme.
Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}\int_0^x\left(e^{t^2}-\cos t\right)dt$ este:
1. $-\frac{3}{2}$
2. $0$
3. $\frac{1}{3}$
4. $\frac{1}{2}$
Limita este de forma $\frac{0}{0}$ . Cu regula lui l'Hôpital (derivata integralei în raport cu limita superioară este integrandul): $\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x^2}-1}{3x^2}+\frac{1-\cos x}{3x^2}\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.$
Fie $f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\longrightarrow\mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{x^2-2}{x+1}$ pentru orice $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .Atunci suma absciselor punctelor de pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta $y=5x$ este:
1. $-2$
2. $-1$
3. $1$
4. $0$
Tangenta este paralelă cu $y=5x$ când $f'(x)=5$ . Avem $f'(x)=\dfrac{2x(x+1)-(x^2-2)}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}$ .Ecuația $x^2+2x+2=5(x+1)^2$ devine $4x^2+8x+3=0$ , cu rădăcinile $-\frac{3}{2}$ și $-\frac{1}{2}$ (ambele diferite de $-1$ ). Suma lor este $-2$ .
Fie $a_n=n\displaystyle\int_{4n-1}^{4n}\frac{1}{1+|x-2n|}\,dx$ pentru orice număr natural $n\ge1$ . Atunci $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ este:
1. $0$
2. $\frac{1}{4}$
3. $\frac{1}{2}$
4. $\sqrt{e}$
Pe intervalul $[4n-1,4n]$ avem $x-2n\ge2n-1>0$ , deci $|x-2n|=x-2n$ și $a_n=n\ln\frac{1+2n}{2n}=n\ln\left(1+\frac{1}{2n}\right).$ Cum $\ln(1+u)\sim u$ când $u\to0$ , rezultă $a_n\to n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$ .

Fie funcția $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ , $f(x)=x+\cos x$ , pentru orice $x\in\mathbb{R}$ . Notăm cu $f^{-1}$ inversa funcției $f$ . Atunci $(f^{-1})'(1)$ este:
1. $\frac{1}{1-\sin 1}$
2. $1$
3. $1-\sin 1$
4. $1+\cos 1$
Avem $f(0)=0+\cos 0=1$ , deci $f^{-1}(1)=0$ . Cum $f'(x)=1-\sin x$ , formula derivatei inversei dă $(f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(1)\right)}=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{1-\sin 0}=1.$
Fie $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{x^2+ax+7}{\sqrt{x^2+2}}$ , unde $a\in\mathbb{R}$ . Mulțimea tuturor valorilor parametrului $a$ pentru care funcția are trei puncte de extrem local este:
1. $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$
2. $(-\infty,1)$
3. $(1,+\infty)$
4. $(-1,1)$
Derivând, $f'(x)=\dfrac{(2x+a)(x^2+2)-x(x^2+ax+7)}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}=\dfrac{x^3-3x+2a}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}$ , deci semnul lui $f'$ este semnul lui $g(x)=x^3-3x+2a$ .Funcția are trei puncte de extrem exact când $g$ are trei rădăcini reale simple. Cum $g'(x)=3x^2-3$ , valorile extreme ale lui $g$ sunt $g(-1)=2+2a$ (maxim) și $g(1)=-2+2a$ (minim); trebuie $g(-1)>0>g(1)$ , adică $-1<a<1$ . Pentru $a=\pm1$ , $g$ are o rădăcină dublă în care $f'$ nu schimbă semnul, deci rămân doar două extreme.
Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}\int_0^x\left(e^{t^2}-\cos t\right)dt$ este:
1. $-\frac{3}{2}$
2. $0$
3. $\frac{1}{3}$
4. $\frac{1}{2}$
Limita este de forma $\frac{0}{0}$ . Cu regula lui l'Hôpital (derivata integralei în raport cu limita superioară este integrandul): $\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to0}\left(\frac{e^{x^2}-1}{3x^2}+\frac{1-\cos x}{3x^2}\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.$
Fie $f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\longrightarrow\mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{x^2-2}{x+1}$ pentru orice $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ .Atunci suma absciselor punctelor de pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta $y=5x$ este:
1. $-2$
2. $-1$
3. $1$
4. $0$
Tangenta este paralelă cu $y=5x$ când $f'(x)=5$ . Avem $f'(x)=\dfrac{2x(x+1)-(x^2-2)}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x+2}{(x+1)^2}$ .Ecuația $x^2+2x+2=5(x+1)^2$ devine $4x^2+8x+3=0$ , cu rădăcinile $-\frac{3}{2}$ și $-\frac{1}{2}$ (ambele diferite de $-1$ ). Suma lor este $-2$ .
Fie $a_n=n\displaystyle\int_{4n-1}^{4n}\frac{1}{1+|x-2n|}\,dx$ pentru orice număr natural $n\ge1$ . Atunci $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ este:
1. $0$
2. $\frac{1}{4}$
3. $\frac{1}{2}$
4. $\sqrt{e}$
Pe intervalul $[4n-1,4n]$ avem $x-2n\ge2n-1>0$ , deci $|x-2n|=x-2n$ și $a_n=n\ln\frac{1+2n}{2n}=n\ln\left(1+\frac{1}{2n}\right).$ Cum $\ln(1+u)\sim u$ când $u\to0$ , rezultă $a_n\to n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$ .

Matematică #197 Admitere Universitatea din București 2019 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 2