Fie (G,·) un grup finit multiplicativ care are un număr par de elemente și A={g∈ G| g^2=e}, unde e este elementul neutru al lui G. Atunci mulțimea A are:

B) un număr par de elemente. Un element g nu aparține lui A exact când g≠ g^-1. Elementele din G∖ A se grupează deci în perechi disjuncte {g,g^-1}, așa că |G∖ A| este par. Cum |G| este par, |A|=|G|-|G∖ A| este par (și nenul, pentru că e∈ A).

Fie polinomul P(X)=X^4-2X^3+3X^2+mX+2 cu coeficienți complecși. Polinomul P are rădăcina 1+i dacă:

C) m=-2. Avem (1+i)^2=2i, (1+i)^3=-2+2i, (1+i)^4=-4. Atunci P(1+i)=-4-2(-2+2i)+3·2i+m(1+i)+2=(2+m)+(2+m)i. P(1+i)=0 exact când m=-2.

Numărul soluțiilor reale ale ecuației 4^x-3·2^x-4=0 este:

B) 1. Cu t=2^x>0 ecuația devine t^2-3t-4=0, cu rădăcinile t=4 și t=-1. Doar t=4 este pozitivă, iar 2^x=4 dă o singură soluție, x=2.

Inversa matricei A= 2 1; 2 3 ∈ M_2(ℝ) este:

D) frac34 -frac14; -frac12 frac12. det A=2·3-1·2=4≠0, iar A^-1=(1)/(det A) 3 -1; -2 2 = frac34 -frac14; -frac12 frac12.

Grile Numere complexe, Grupuri · Matematică admitere UB 2016

1/5

00:00

Valoarea numărului complex

(3-i\sqrt2)^3

este egală cu:

Valoarea numărului complex $(3-i\sqrt2)^3$ este egală cu:
1. $9-25i\sqrt2$
2. $9+25i\sqrt2$
3. $6+15i\sqrt2$
4. $-6+15i\sqrt2$
Cu $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ , $a=3$ , $b=i\sqrt2$ și $b^2=-2$ , $b^3=-2i\sqrt2$ : $(3-i\sqrt2)^3=27-27i\sqrt2+3\cdot3\cdot(-2)-(-2i\sqrt2)=27-18-27i\sqrt2+2i\sqrt2=9-25i\sqrt2$ .
Fie $(G,\cdot)$ un grup finit multiplicativ care are un număr par de elemente și $A=\{g\in G\mid g^2=e\}$ , unde $e$ este elementul neutru al lui $G$ . Atunci mulțimea $A$ are:
1. un număr impar de elemente
2. un număr par de elemente
3. niciun element
4. o infinitate de elemente
Un element $g$ nu aparține lui $A$ exact când $g\ne g^{-1}$ . Elementele din $G\setminus A$ se grupează deci în perechi disjuncte $\{g,g^{-1}\}$ , așa că $|G\setminus A|$ este par.Cum $|G|$ este par, $|A|=|G|-|G\setminus A|$ este par (și nenul, pentru că $e\in A$ ).
Fie polinomul $P(X)=X^4-2X^3+3X^2+mX+2$ cu coeficienți complecși. Polinomul $P$ are rădăcina $1+i$ dacă:
1. $m=1$
2. $m=2$
3. $m=-2$
4. $m=-1$
Avem $(1+i)^2=2i$ , $(1+i)^3=-2+2i$ , $(1+i)^4=-4$ . Atunci $P(1+i)=-4-2(-2+2i)+3\cdot2i+m(1+i)+2=(2+m)+(2+m)i$ . $P(1+i)=0$ exact când $m=-2$ .
Numărul soluțiilor reale ale ecuației $4^x-3\cdot2^x-4=0$ este:
1. $0$
2. $1$
3. $2$
4. $4$
Cu $t=2^x>0$ ecuația devine $t^2-3t-4=0$ , cu rădăcinile $t=4$ și $t=-1$ .Doar $t=4$ este pozitivă, iar $2^x=4$ dă o singură soluție, $x=2$ .
Inversa matricei $A=\begin{pmatrix}2&1\\2&3\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R})$ este:
1. $\begin{pmatrix}\frac12&1\\\frac12&\frac13\end{pmatrix}$
2. $\begin{pmatrix}-2&-1\\-2&-3\end{pmatrix}$
3. $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
4. $\begin{pmatrix}\frac34&-\frac14\\-\frac12&\frac12\end{pmatrix}$
$\det A=2\cdot3-1\cdot2=4\ne0$ , iar $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}3&-1\\-2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac34&-\frac14\\-\frac12&\frac12\end{pmatrix}$

Valoarea numărului complex $(3-i\sqrt2)^3$ este egală cu:
1. $9-25i\sqrt2$
2. $9+25i\sqrt2$
3. $6+15i\sqrt2$
4. $-6+15i\sqrt2$
Cu $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ , $a=3$ , $b=i\sqrt2$ și $b^2=-2$ , $b^3=-2i\sqrt2$ : $(3-i\sqrt2)^3=27-27i\sqrt2+3\cdot3\cdot(-2)-(-2i\sqrt2)=27-18-27i\sqrt2+2i\sqrt2=9-25i\sqrt2$ .
Fie $(G,\cdot)$ un grup finit multiplicativ care are un număr par de elemente și $A=\{g\in G\mid g^2=e\}$ , unde $e$ este elementul neutru al lui $G$ . Atunci mulțimea $A$ are:
1. un număr impar de elemente
2. un număr par de elemente
3. niciun element
4. o infinitate de elemente
Un element $g$ nu aparține lui $A$ exact când $g\ne g^{-1}$ . Elementele din $G\setminus A$ se grupează deci în perechi disjuncte $\{g,g^{-1}\}$ , așa că $|G\setminus A|$ este par.Cum $|G|$ este par, $|A|=|G|-|G\setminus A|$ este par (și nenul, pentru că $e\in A$ ).
Fie polinomul $P(X)=X^4-2X^3+3X^2+mX+2$ cu coeficienți complecși. Polinomul $P$ are rădăcina $1+i$ dacă:
1. $m=1$
2. $m=2$
3. $m=-2$
4. $m=-1$
Avem $(1+i)^2=2i$ , $(1+i)^3=-2+2i$ , $(1+i)^4=-4$ . Atunci $P(1+i)=-4-2(-2+2i)+3\cdot2i+m(1+i)+2=(2+m)+(2+m)i$ . $P(1+i)=0$ exact când $m=-2$ .
Numărul soluțiilor reale ale ecuației $4^x-3\cdot2^x-4=0$ este:
1. $0$
2. $1$
3. $2$
4. $4$
Cu $t=2^x>0$ ecuația devine $t^2-3t-4=0$ , cu rădăcinile $t=4$ și $t=-1$ .Doar $t=4$ este pozitivă, iar $2^x=4$ dă o singură soluție, $x=2$ .
Inversa matricei $A=\begin{pmatrix}2&1\\2&3\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R})$ este:
1. $\begin{pmatrix}\frac12&1\\\frac12&\frac13\end{pmatrix}$
2. $\begin{pmatrix}-2&-1\\-2&-3\end{pmatrix}$
3. $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
4. $\begin{pmatrix}\frac34&-\frac14\\-\frac12&\frac12\end{pmatrix}$
$\det A=2\cdot3-1\cdot2=4\ne0$ , iar $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}3&-1\\-2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac34&-\frac14\\-\frac12&\frac12\end{pmatrix}$

Matematică #203 Admitere Universitatea din București 2016 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 1