[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-universitatea-din-bucuresti-2015-iulie-calculatoare-si-tehnologia-informatiei-varianta-1-205

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-universitatea-din-bucuresti-2015-iulie-calculatoare-si-tehnologia-informatiei-varianta-1-205
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Universitatea din București 2015 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 1 · Matematică #205

10 grile din Drepte în plan, Limite de șiruri, Asimptote, cu explicații. Transcrise din Admitere Universitatea din București 2015 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 1. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Universitatea din București 2015 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 1)

## Teaser gratuit, fără cont

1. Toate valorile parametrului real $a$ pentru care $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n+a^n}{3^n+4^n}=0$ sunt:

a) $a\in(0,1)$
b) $a\in(-4,4)$
c) $a\in[0,4)$
d) $a\in(-\infty,4)$

Răspuns corect: b) $a\in(-4,4)$

Împărțind la $4^n$: $\frac{(2/4)^n+(3/4)^n+(a/4)^n}{(3/4)^n+1}$. Numitorul tinde la $1$, iar primii doi termeni ai numărătorului la $0$, deci limita este $0$ exact când $\left(\frac a4\right)^n\to0$, adică $|a|<4$.

Pentru $a=4$ limita este $1$, iar pentru $a\le-4$ șirul $\left(\frac a4\right)^n$ nu tinde la $0$. Rezultă $a\in(-4,4)$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 19 iulie 2015, Varianta 1, Matematică, itemul 1

2. Numărul asimptotelor funcției $f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{|x^2+x|}}{x}$ este:

a) $1$
b) $2$
c) $3$
d) $4$

Răspuns corect: c) $3$

Spre $+\infty$: $\sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+\frac1x}$, deci $f(x)=1-\sqrt{1+\frac1x}\to0$; spre $-\infty$: $\sqrt{x^2+x}=-x\sqrt{1+\frac1x}$, deci $f(x)=1+\sqrt{1+\frac1x}\to2$. Avem două asimptote orizontale, $y=0$ și $y=2$ (deci nu există oblice).

Lângă $0$: $\sqrt{|x^2+x|}\approx\sqrt{|x|}$, iar $\frac{\sqrt{|x|}}{x}\to\pm\infty$, deci $x=0$ este asimptotă verticală. În total $3$ asimptote.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 19 iulie 2015, Varianta 1, Matematică, itemul 2

3. Mulțimea valorilor lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $2\ln x+x^2-4x+m=0$ are o unică soluție în intervalul $(1,\infty)$ este:

a) $\emptyset$
b) $(3,\infty)$
c) $(-\infty,3)$
d) $\mathbb{R}$

Răspuns corect: c) $(-\infty,3)$

Fie $g(x)=2\ln x+x^2-4x+m$. Atunci $g'(x)=\frac2x+2x-4=\frac{2(x-1)^2}{x}>0$ pe $(1,\infty)$, deci $g$ este strict crescătoare, cu $\lim_{x\searrow1}g(x)=m-3$ și $\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$.

Ecuația are o (unică) soluție în $(1,\infty)$ exact când $m-3<0$, adică $m\in(-\infty,3)$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 19 iulie 2015, Varianta 1, Matematică, itemul 3

4. Valoarea integralei $\displaystyle\int_1^4\frac{1}{\sqrt{x}\,e^{\sqrt{x}}}\,\mathrm{dx}$ este:

a) $e^{-1}-e^{-2}$
b) $(e^{-1}-e^{-2})/2$
c) $4(e^{-1}-e^{-2})$
d) $2(e^{-1}-e^{-2})$

Răspuns corect: d) $2(e^{-1}-e^{-2})$

Cu $u=\sqrt x$, $du=\frac{dx}{2\sqrt x}$, iar limitele devin $1$ și $2$.

$\int_1^4\frac{dx}{\sqrt x\,e^{\sqrt x}}=\int_1^2 2e^{-u}\,du=2\left(e^{-1}-e^{-2}\right)$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 19 iulie 2015, Varianta 1, Matematică, itemul 4

5. Fie $a_n=\displaystyle\int_1^n\frac{1}{x+1}\,\mathrm{dx}$, $\forall\,n\in\mathbb{N}^*$. Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}$ este:

a) $0$
b) $\ln2$
c) $1$
d) $+\infty$

Răspuns corect: a) $0$

$a_n=\ln(n+1)-\ln2=\ln\frac{n+1}{2}$.

Cum logaritmul crește mai încet decât orice funcție liniară, $\frac{a_n}{n}=\frac{\ln\frac{n+1}{2}}{n}\to0$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 19 iulie 2015, Varianta 1, Matematică, itemul 5