Toate valorile parametrului real a pentru care lim_n→∞(2^n+3^n+a^n)/(3^n+4^n)=0 sunt:

B) a∈(-4,4). Împărțind la 4^n: ((2/4)^n+(3/4)^n+(a/4)^n)/((3/4)^n+1). Numitorul tinde la 1, iar primii doi termeni ai numărătorului la 0, deci limita este 0 exact când (frac a4)^n→0, adică |a|<4. Pentru a=4 limita este 1, iar pentru a≤-4 șirul (frac a4)^n nu tinde la 0. Rezultă a∈(-4,4).

Valoarea integralei ∫_1^4frac1√(x) e^√(x) dx este:

D) 2(e^-1-e^-2). Cu u=sqrt x, du=(dx)/(2sqrt x), iar limitele devin 1 și 2. ∫_1^4fracdxsqrt x e^sqrt x=∫_1^2 2e^-u du=2(e^-1-e^-2).

Grile Drepte în plan · Matematică admitere UB 2015

Toate valorile parametrului real $a$ pentru care $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n+a^n}{3^n+4^n}=0$ sunt:

$a\in(0,1)$
$a\in(-4,4)$
$a\in[0,4)$
$a\in(-\infty,4)$

Împărțind la

4^n

:

\frac{(2/4)^n+(3/4)^n+(a/4)^n}{(3/4)^n+1}

. Numitorul tinde la

1

, iar primii doi termeni ai numărătorului la

0

, deci limita este

0

exact când

\left(\frac a4\right)^n\to0

, adică

|a|<4

.Pentru

a=4

limita este

1

, iar pentru

a\le-4

șirul

\left(\frac a4\right)^n

nu tinde la

0

. Rezultă

a\in(-4,4)

.

Numărul asimptotelor funcției $f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{|x^2+x|}}{x}$ este:

$1$
$2$
$3$
$4$

Spre

+\infty

:

\sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+\frac1x}

, deci

f(x)=1-\sqrt{1+\frac1x}\to0

; spre

-\infty

:

\sqrt{x^2+x}=-x\sqrt{1+\frac1x}

, deci

f(x)=1+\sqrt{1+\frac1x}\to2

. Avem două asimptote orizontale,

y=0

și

y=2

(deci nu există oblice).Lângă

0

:

\sqrt{|x^2+x|}\approx\sqrt{|x|}

, iar

\frac{\sqrt{|x|}}{x}\to\pm\infty

, deci

x=0

este asimptotă verticală. În total

3

asimptote.

Mulțimea valorilor lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care ecuația $2\ln x+x^2-4x+m=0$ are o unică soluție în intervalul $(1,\infty)$ este:

$\emptyset$
$(3,\infty)$
$(-\infty,3)$
$\mathbb{R}$

Fie

g(x)=2\ln x+x^2-4x+m

. Atunci

g'(x)=\frac2x+2x-4=\frac{2(x-1)^2}{x}>0

pe

(1,\infty)

, deci

g

este strict crescătoare, cu

\lim_{x\searrow1}g(x)=m-3

și

\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty

.Ecuația are o (unică) soluție în

(1,\infty)

exact când

m-3<0

, adică

m\in(-\infty,3)

.

Valoarea integralei $\displaystyle\int_1^4\frac{1}{\sqrt{x}\,e^{\sqrt{x}}}\,\mathrm{dx}$ este:

$e^{-1}-e^{-2}$
$(e^{-1}-e^{-2})/2$
$4(e^{-1}-e^{-2})$
$2(e^{-1}-e^{-2})$

Cu

u=\sqrt x

,

du=\frac{dx}{2\sqrt x}

, iar limitele devin

1

și

2

.

\int_1^4\frac{dx}{\sqrt x\,e^{\sqrt x}}=\int_1^2 2e^{-u}\,du=2\left(e^{-1}-e^{-2}\right)

Fie $a_n=\displaystyle\int_1^n\frac{1}{x+1}\,\mathrm{dx}$ $\forall\,n\in\mathbb{N}^*$ . Valoarea limitei $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}$ este:

$0$
$\ln2$
$1$
$+\infty$

a_n=\ln(n+1)-\ln2=\ln\frac{n+1}{2}

.Cum logaritmul crește mai încet decât orice funcție liniară,

\frac{a_n}{n}=\frac{\ln\frac{n+1}{2}}{n}\to0

.

Matematică #205 Admitere Universitatea din București 2015 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 1