[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-universitatea-din-bucuresti-2014-iulie-calculatoare-si-tehnologia-informatiei-varianta-1-207

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-universitatea-din-bucuresti-2014-iulie-calculatoare-si-tehnologia-informatiei-varianta-1-207
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Universitatea din București 2014 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 1 · Matematică #207

10 grile din Funcția de gradul II, Determinanți, Polinoame, cu explicații. Transcrise din Admitere Universitatea din București 2014 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 1. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Universitatea din București 2014 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 1)

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie $x,y\in\mathbb{C}^*$ astfel încât $x+y=1$ și $\frac1x+\frac1y=1$. Atunci $x^3+y^3$ are valoarea:

a) $1$
b) $-2$
c) $-1$
d) $8$

Răspuns corect: b) $-2$

Din $\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}=1$ și $x+y=1$ rezultă $xy=1$.

Atunci $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=1-3=-2$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 20 iulie 2014, Varianta 1, Algebră, itemul 1

2. Valoarea cea mai mică pe care o ia funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x^2-3x+1$, este:

a) $1$
b) $0$
c) $-\frac12$
d) $-\frac18$

Răspuns corect: d) $-\frac18$

Cum $a=2>0$, minimul funcției de gradul al doilea este $-\frac{\Delta}{4a}$, atins în vârful $x=-\frac{b}{2a}=\frac34$.

$\Delta=9-8=1$, deci valoarea minimă este $-\frac18$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 20 iulie 2014, Varianta 1, Algebră, itemul 2

3. Câte matrice $X\in M_2(\mathbb{R})$ există astfel încât $X^2=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$?

a) una
b) niciuna
c) o infinitate
d) două

Răspuns corect: b) niciuna

Dacă $X^2=B$, atunci $\det(X^2)=(\det X)^2\ge0$ pentru orice matrice reală $X$.

Dar $\det B=3\cdot1-2\cdot2=-1<0$, deci nu există nicio astfel de matrice.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 20 iulie 2014, Varianta 1, Algebră, itemul 3

4. Numărul rădăcinilor reale ale ecuației $x^4+2x^3-3x^2+2x+1=0$ este:

a) $0$
b) $1$
c) $2$
d) $4$

Răspuns corect: c) $2$

$x=0$ nu este rădăcină; împărțind la $x^2$ și notând $t=x+\frac1x$ (deci $x^2+\frac1{x^2}=t^2-2$), ecuația devine $t^2+2t-5=0$, cu $t=-1\pm\sqrt6$.

Ecuația $x+\frac1x=t$ are rădăcini reale doar pentru $|t|\ge2$: $t=-1+\sqrt6\approx1{,}45$ nu dă rădăcini reale, iar $t=-1-\sqrt6\approx-3{,}45$ dă două rădăcini reale distincte. În total: $2$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 20 iulie 2014, Varianta 1, Algebră, itemul 4

5. Fie numărul complex $z=(i+\sqrt2)^{100}+(i-\sqrt2)^{100}$. Atunci

a) $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$
b) $z\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$
c) $z\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}$
d) $z\in\mathbb{Z}$

Răspuns corect: d) $z\in\mathbb{Z}$

Exponentul fiind par, $(i-\sqrt2)^{100}=(\sqrt2-i)^{100}=\overline{(\sqrt2+i)^{100}}$, deci $z=2\,\mathrm{Re}\,(\sqrt2+i)^{100}$.

Din binomul lui Newton, partea reală este $\sum_{k\,\text{par}}C_{100}^k(\sqrt2)^{100-k}i^k$; pentru $k$ par, $100-k$ este par, deci fiecare termen este întreg. Așadar $z\in\mathbb{Z}$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 20 iulie 2014, Varianta 1, Algebră, itemul 5