Matematică #207 Admitere Universitatea din București 2014 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 1
1/5
00:00
Fie x,y∈C∗ astfel încât x+y=1 și x1+y1=1. Atunci x3+y3 are valoarea:
Fie x,y∈C∗ astfel încât x+y=1 și x1+y1=1. Atunci x3+y3 are valoarea:
1
−2
−1
8
Din x1+y1=xyx+y=1 și x+y=1 rezultă xy=1.Atunci x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)=1−3=−2.
Valoarea cea mai mică pe care o ia funcția f:R→R, f(x)=2x2−3x+1, este:
1
0
−21
−81
Cum a=2>0, minimul funcției de gradul al doilea este −4aΔ, atins în vârful x=−2ab=43.Δ=9−8=1, deci valoarea minimă este −81.
Câte matrice X∈M2(R) există astfel încât X2=(3221)?
una
niciuna
o infinitate
două
Dacă X2=B, atunci det(X2)=(detX)2≥0 pentru orice matrice reală X.Dar detB=3⋅1−2⋅2=−1<0, deci nu există nicio astfel de matrice.
Numărul rădăcinilor reale ale ecuației x4+2x3−3x2+2x+1=0 este:
0
1
2
4
x=0 nu este rădăcină; împărțind la x2 și notând t=x+x1 (deci x2+x21=t2−2), ecuația devine t2+2t−5=0, cu t=−1±6.Ecuația x+x1=t are rădăcini reale doar pentru ∣t∣≥2: t=−1+6≈1,45 nu dă rădăcini reale, iar t=−1−6≈−3,45 dă două rădăcini reale distincte. În total: 2.
Fie numărul complex z=(i+2)100+(i−2)100. Atunci
z∈C∖R
z∈R∖Q
z∈Q∖Z
z∈Z
Exponentul fiind par, (i−2)100=(2−i)100=(2+i)100, deci z=2Re(2+i)100.Din binomul lui Newton, partea reală este kpar∑C100k(2)100−kikpentru k par, 100−k este par, deci fiecare termen este întreg. Așadar z∈Z.