[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-universitatea-din-bucuresti-2013-iulie-calculatoare-si-tehnologia-informatiei-varianta-2-210

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-universitatea-din-bucuresti-2013-iulie-calculatoare-si-tehnologia-informatiei-varianta-2-210
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Universitatea din București 2013 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 2 · Matematică #210

10 grile din Logaritmi, Numere complexe, Permutări, aranjamente, combinări, cu explicații. Transcrise din Admitere Universitatea din București 2013 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 2. Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Universitatea din București 2013 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 2)

## Teaser gratuit, fără cont

1. Soluția supraunitară a ecuației $(\log_{10}x)^2+\log_{10}\sqrt x-\frac32=0$ este:

a) $x=2$
b) $x=\frac32$
c) $x=100$
d) $x=10$

Răspuns corect: d) $x=10$

Cu $t=\log_{10}x$ și $\log_{10}\sqrt x=\frac t2$: $t^2+\frac t2-\frac32=0$, adică $2t^2+t-3=0$, cu $t=1$ sau $t=-\frac32$.

Soluția supraunitară ($x>1$, deci $t>0$) corespunde lui $t=1$: $x=10$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 21 iulie 2013, Varianta 2, Algebră, itemul 2

2. Modulul numărului complex $(2+\sqrt2i)^3(1-\sqrt2i)$ este:

a) $18\sqrt2$
b) $1$
c) $0$
d) $4\sqrt2$

Răspuns corect: a) $18\sqrt2$

Modulul produsului este produsul modulelor: $|2+\sqrt2i|=\sqrt{4+2}=\sqrt6$ și $|1-\sqrt2i|=\sqrt{1+2}=\sqrt3$.

Modulul este $(\sqrt6)^3\cdot\sqrt3=6\sqrt6\cdot\sqrt3=6\sqrt{18}=18\sqrt2$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 21 iulie 2013, Varianta 2, Algebră, itemul 3

3. Numărul natural $n$ pentru care $\frac1n\cdot C_n^2+n!=122$ este:

a) $12$
b) $10$
c) $4$
d) $5$

Răspuns corect: d) $5$

$\frac1n\cdot C_n^2=\frac1n\cdot\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n-1}{2}$, deci ecuația este $\frac{n-1}{2}+n!=122$.

Pentru $n=5$: $2+120=122$. Membrul stâng este crescător în $n$, deci soluția este unică: $n=5$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 21 iulie 2013, Varianta 2, Algebră, itemul 4

4. Valoarea parametrului real $m$ pentru care rădăcinile ecuației $x^3+3x^2-x+m=0$ sunt în progresie aritmetică este:

a) $3$
b) $-3$
c) $1$
d) $2$

Răspuns corect: b) $-3$

Dacă rădăcinile sunt $a-d$, $a$, $a+d$, suma lor este $3a=-3$, deci $a=-1$ este rădăcină: $-1+3+1+m=0$, $m=-3$.

Verificare: $x^3+3x^2-x-3=(x+3)(x^2-1)$, cu rădăcinile $-3,-1,1$, în progresie aritmetică.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 21 iulie 2013, Varianta 2, Algebră, itemul 5

5. Fie matricea $A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R})$. Dacă $m\in\mathbb{R}$ și $A^2+mA+I_2=O_2$, atunci:

a) $m=1$
b) $m=-2$
c) $m=-5$
d) $m=3$

Răspuns corect: b) $m=-2$

Din relația Cayley–Hamilton, $A^2-(\operatorname{tr}A)A+(\det A)I_2=O_2$, cu $\operatorname{tr}A=2$ și $\det A=1$: $A^2-2A+I_2=O_2$ (direct: $A^2=\begin{pmatrix}3&-2\\2&-1\end{pmatrix}=2A-I_2$).

Atunci $A^2+mA+I_2=(m+2)A=O_2$, iar $A\ne O_2$, deci $m=-2$.

Subiect oficial · Admitere Universitatea din București, Facultatea de Matematică și Informatică, Calculatoare și Tehnologia Informației, 21 iulie 2013, Varianta 2, Algebră, itemul 6