Matematică #210 Admitere Universitatea din București 2013 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 2
1/5
00:00
Soluția supraunitară a ecuației (log10x)2+log10x−23=0 este:
Soluția supraunitară a ecuației (log10x)2+log10x−23=0 este:
x=2
x=23
x=100
x=10
Cu t=log10x și log10x=2t: t2+2t−23=0, adică 2t2+t−3=0, cu t=1 sau t=−23.Soluția supraunitară (x>1, deci t>0) corespunde lui t=1: x=10.
Modulul numărului complex (2+2i)3(1−2i) este:
182
1
0
42
Modulul produsului este produsul modulelor: ∣2+2i∣=4+2=6 și ∣1−2i∣=1+2=3.Modulul este (6)3⋅3=66⋅3=618=182.
Numărul natural n pentru care n1⋅Cn2+n!=122 este:
12
10
4
5
n1⋅Cn2=n1⋅2n(n−1)=2n−1, deci ecuația este 2n−1+n!=122.Pentru n=5: 2+120=122. Membrul stâng este crescător în n, deci soluția este unică: n=5.
Valoarea parametrului real m pentru care rădăcinile ecuației x3+3x2−x+m=0 sunt în progresie aritmetică este:
3
−3
1
2
Dacă rădăcinile sunt a−d, a, a+d, suma lor este 3a=−3, deci a=−1 este rădăcină: −1+3+1+m=0, m=−3.Verificare: x3+3x2−x−3=(x+3)(x2−1), cu rădăcinile −3,−1,1, în progresie aritmetică.
Fie matricea A=(21−10)∈M2(R)Dacă m∈R și A2+mA+I2=O2, atunci:
m=1
m=−2
m=−5
m=3
Din relația Cayley–Hamilton, A2−(trA)A+(detA)I2=O2, cu trA=2 și detA=1: A2−2A+I2=O2 (direct: A2=(32−2−1)=2A−I2).Atunci A2+mA+I2=(m+2)A=O2, iar A=O2, deci m=−2.