Matematică #261 Admitere Universitatea din București 2012 iulie — Calculatoare și Tehnologia Informației, Varianta 1
1/5
00:00
Fie x1,x2∈R rădăcinile ecuației x2+5x−1=0. Atunci x2x12+x1x22 este egal cu:
Fie x1,x2∈R rădăcinile ecuației x2+5x−1=0. Atunci x2x12+x1x22 este egal cu:
140
0
2
51
Din relațiile lui Viète, S=x1+x2=−5 și P=x1x2=−1. Aducând la același numitor, expresia este x1x2x13+x23.x13+x23=S3−3PS=−125−15=−140, deci expresia este −1−140=140.
Valoarea lui m pentru care ecuația x3−mx2−x+1=0 are soluția x=−2 este:
1
2
−45
−32
Înlocuim x=−2: −8−4m+2+1=0, adică −4m−5=0.Rezultă m=−45.
Numărul de soluții reale ale ecuației 9x+3x−12=0 este:
0
1
2
3
Cu t=3x>0 ecuația devine t2+t−12=0, cu rădăcinile t=3 și t=−4.Doar t=3 este pozitivă, deci 3x=3 și x=1: o singură soluție reală.
Numărul de soluții complexe ale ecuației z2=z este:
1
2
3
4
Luând modulul: ∣z∣2=∣z∣, deci ∣z∣=0 sau ∣z∣=1. Pentru ∣z∣=1 avem z=z1, iar ecuația devine z3=1, cu trei soluții.Împreună cu z=0: soluțiile sunt 0, 1, −21±23i, adică 4 soluții.
Valorile parametrului real m pentru care sistemul⎩⎨⎧mx+2y+z=0(m+2)x−2y+3z=05x+2my+(3m+2)z=0are soluție nebanală sunt:
1și 0
1și −2
1și −1
2și −2
Un sistem omogen are soluție nebanală dacă și numai dacă determinantul său este nul.Determinantul matricei sistemului este −16(m−1)(m+2), care se anulează pentru m=1 și m=−2.