[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2024-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2024-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2024 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie) · Matematică #264

10 grile din Integrala definită, Matrice, Funcții elementare, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2024 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2024 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Să se calculeze $I=\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{1}{\left(x^2+4\right)\left(3^x+1\right)}\,dx$.

a) $I=\frac{\pi}{3}$
b) $I=0$
c) $I=\frac{\pi}{20}$
d) $I=\frac{\pi}{4}$
e) $I=\frac{\pi}{10}$
f) $I=\frac{\pi}{8}$

Răspuns corect: f) $I=\frac{\pi}{8}$

Cu substituția $x=-t$, intervalul simetric rămâne același și $\dfrac{1}{3^{-t}+1}=\dfrac{3^t}{3^t+1}$, deci $I=\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{3^x}{\left(x^2+4\right)\left(3^x+1\right)}\,dx$.

Adunând cele două forme: $2I=\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{dx}{x^2+4}=\frac12\left[\operatorname{arctg}\frac{x}{2}\right]_{-2}^{2}=\frac12\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}$, deci $I=\frac{\pi}{8}$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2024, AC/ETTI, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta A (22 iulie), itemul 1 · cheie din baremul oficial

2. Fie matricea $A=\begin{pmatrix}1&3&-3\\3&1&0\\3&0&1\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{R})$. Atunci suma modulelor elementelor de pe diagonala principală a matricii $A^{59}$ este:

a) $30799$
b) $30789$
c) $30790$
d) $30800$
e) $30795$
f) $30788$

Răspuns corect: a) $30799$

Scriem $A=I_3+N$, cu $N=\begin{pmatrix}0&3&-3\\3&0&0\\3&0&0\end{pmatrix}$. Avem $N^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&9&-9\\0&9&-9\end{pmatrix}$ și $N^3=O_3$; cum $I_3$ comută cu $N$, binomul lui Newton dă $A^{59}=I_3+59N+C_{59}^2N^2=I_3+59N+1711N^2$.

Diagonala principală a lui $A^{59}$ este $1$, $1+1711\cdot9=15400$ și $1-1711\cdot9=-15398$, deci suma modulelor este $1+15400+15398=30799$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2024, AC/ETTI, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta A (22 iulie), itemul 2 · cheie din baremul oficial

3. Rezolvați ecuația $2^{3x-1} = 4$.

a) $x = 1$
b) $x = -1$
c) $x = 0$
d) $x = 2$
e) $x = 4$
f) $x = -2$

Răspuns corect: a) $x = 1$

Scriem $4 = 2^2$, deci ecuația devine $2^{3x-1} = 2^2$. Funcția exponențială fiind injectivă, $3x-1 = 2$, de unde $x = 1$.

Subiect oficial · Universitatea Națională de Știință și Tehnologie POLITEHNICA București — concurs de admitere, 22 iulie 2024, VARIANTA A, proba Algebră și Elemente de Analiză Matematică (AAM) · cheie din baremul oficial

4. Soluția ecuației $\sqrt{2x+3} = 3$ este:

a) $x = 2$
b) $x = 3$
c) $x = -3$
d) $x = -1$
e) $x = 0$
f) $x = 1$

Răspuns corect: b) $x = 3$

Ridicăm ambii membri la pătrat (condiție necesară $2x+3\geq 0$): $2x+3 = 9$, deci $x = 3$. Verificare: $\sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt{9}=3$.

Subiect oficial · Universitatea Națională de Știință și Tehnologie POLITEHNICA București — concurs de admitere, 22 iulie 2024, VARIANTA A, proba Algebră și Elemente de Analiză Matematică (AAM) · cheie din baremul oficial

5. Aflați valorile lui $m \in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $1 - 2x - 2x^2 = me^{2x}$ admite trei soluții reale distincte.

a) $m \in \left(-\infty,\, -\dfrac{3}{e^2}\right)$
b) $m \in \left(\dfrac{1}{e},\, 1\right)$
c) $m \in (1,\, e)$
d) $m \in \left(0,\, \dfrac{1}{e}\right)$
e) $m \in (e,\, +\infty)$
f) $m \in \left(-\dfrac{3}{e^2},\, 0\right)$

Răspuns corect: f) $m \in \left(-\dfrac{3}{e^2},\, 0\right)$

Ecuația este echivalentă cu $m = g(x)$, unde $g(x) = (1-2x-2x^2)e^{-2x}$. Derivăm:
$$g'(x) = e^{-2x}\big[(-2-4x) - 2(1-2x-2x^2)\big] = e^{-2x}\big(4x^2-4\big) = 4e^{-2x}(x-1)(x+1).$$
Rezultă $g$ crescătoare pe $(-\infty,-1)$, descrescătoare pe $(-1,1)$, crescătoare pe $(1,+\infty)$, cu maxim local $g(-1) = e^{2}$ și minim local $g(1) = -\dfrac{3}{e^2}$. Cum $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} g(x) = -\infty$ și $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) = 0^-$ (fără a atinge $0$), dreapta $y=m$ intersectează graficul lui $g$ în trei puncte exact atunci când $m \in \left(-\dfrac{3}{e^2},\, 0\right)$.

Subiect oficial · Universitatea Națională de Știință și Tehnologie POLITEHNICA București — concurs de admitere, 22 iulie 2024, VARIANTA A, proba Algebră și Elemente de Analiză Matematică (AAM) · cheie din baremul oficial