Să se calculeze I=∫_-2^2(1)/((x^2+4)(3^x+1)) dx.

F) I=(π)/(8). Cu substituția x=-t, intervalul simetric rămâne același și dfrac13^-t+1=(3^t)/(3^t+1), deci I=∫_-2^2(3^x)/((x^2+4)(3^x+1)) dx. Adunând cele două forme: 2I=∫_-2^2(dx)/(x^2+4)=frac12[arctg(x)/(2)]_-2^2=frac12·(π)/(2)=(π)/(4), deci I=(π)/(8).

Soluția ecuației √(2x+3) = 3 este:

B) x = 3. Ridicăm ambii membri la pătrat (condiție necesară 2x+3≥ 0): 2x+3 = 9, deci x = 3. Verificare: √(2·3+3)=√(9)=3.

Aflați valorile lui m ∈ ℝ pentru care ecuația 1 - 2x - 2x^2 = me^2x admite trei soluții reale distincte.

F) m ∈ (-(3)/(e^2), 0). Ecuația este echivalentă cu m = g(x), unde g(x) = (1-2x-2x^2)e^-2x. Derivăm: g'(x) = e^-2x[(-2-4x) - 2(1-2x-2x^2)] = e^-2x(4x^2-4) = 4e^-2x(x-1)(x+1). Rezultă g crescătoare pe (-∞,-1), descrescătoare pe (-1,1), crescătoare pe (1,+∞), cu maxim local g(-1) = e^2 și minim local g(1) = -(3)/(e^2). Cum lim_x→-∞ g(x) = -∞ și lim_x→+∞ g(x) = 0^- (fără a atinge 0), dreapta y=m intersectează graficul lui g în trei puncte exact atunci când m ∈ (-(3)/(e^2), 0).

Grile Integrala definită · Matematică admitere Politehnica 2024

Să se calculeze $I=\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{1}{\left(x^2+4\right)\left(3^x+1\right)}\,dx$

$I=\frac{\pi}{3}$
$I=0$
$I=\frac{\pi}{20}$
$I=\frac{\pi}{4}$
$I=\frac{\pi}{10}$
$I=\frac{\pi}{8}$

Cu substituția

x=-t

, intervalul simetric rămâne același și

\dfrac{1}{3^{-t}+1}=\dfrac{3^t}{3^t+1}

, deci

I=\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{3^x}{\left(x^2+4\right)\left(3^x+1\right)}\,dx

Adunând cele două forme:

2I=\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{dx}{x^2+4}=\frac12\left[\operatorname{arctg}\frac{x}{2}\right]_{-2}^{2}=\frac12\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}

deci

I=\frac{\pi}{8}

.

Fie matricea $A=\begin{pmatrix}1&3&-3\\3&1&0\\3&0&1\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{R})$ Atunci suma modulelor elementelor de pe diagonala principală a matricii $A^{59}$ este:

$30799$
$30789$
$30790$
$30800$
$30795$
$30788$

Scriem

A=I_3+N

, cu

N=\begin{pmatrix}0&3&-3\\3&0&0\\3&0&0\end{pmatrix}

Avem

N^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&9&-9\\0&9&-9\end{pmatrix}

și

N^3=O_3

; cum

I_3

comută cu

N

, binomul lui Newton dă

A^{59}=I_3+59N+C_{59}^2N^2=I_3+59N+1711N^2

.Diagonala principală a lui

A^{59}

este

1

,

1+1711\cdot9=15400

și

1-1711\cdot9=-15398

, deci suma modulelor este

1+15400+15398=30799

.

Rezolvați ecuația $2^{3x-1} = 4$ .

$x = 1$
$x = -1$
$x = 0$
$x = 2$
$x = 4$
$x = -2$

Scriem

4 = 2^2

, deci ecuația devine

2^{3x-1} = 2^2

. Funcția exponențială fiind injectivă,

3x-1 = 2

, de unde

x = 1

.

Soluția ecuației $\sqrt{2x+3} = 3$ este:

$x = 2$
$x = 3$
$x = -3$
$x = -1$
$x = 0$
$x = 1$

Ridicăm ambii membri la pătrat (condiție necesară

2x+3\geq 0

):

2x+3 = 9

, deci

x = 3

. Verificare:

\sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt{9}=3

.

Aflați valorile lui $m \in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $1 - 2x - 2x^2 = me^{2x}$ admite trei soluții reale distincte.

$m \in \left(-\infty,\, -\dfrac{3}{e^2}\right)$
$m \in \left(\dfrac{1}{e},\, 1\right)$
$m \in (1,\, e)$
$m \in \left(0,\, \dfrac{1}{e}\right)$
$m \in (e,\, +\infty)$
$m \in \left(-\dfrac{3}{e^2},\, 0\right)$

Ecuația este echivalentă cu

m = g(x)

, unde

g(x) = (1-2x-2x^2)e^{-2x}

. Derivăm:

g'(x) = e^{-2x}\big[(-2-4x) - 2(1-2x-2x^2)\big] = e^{-2x}\big(4x^2-4\big) = 4e^{-2x}(x-1)(x+1).

Rezultă

g

crescătoare pe

(-\infty,-1)

, descrescătoare pe

(-1,1)

, crescătoare pe

(1,+\infty)

, cu maxim local

g(-1) = e^{2}

și minim local

g(1) = -\dfrac{3}{e^2}

. Cum

\displaystyle\lim_{x\to-\infty} g(x) = -\infty

și

\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) = 0^-

(fără a atinge

0

), dreapta

y=m

intersectează graficul lui

g

în trei puncte exact atunci când

m \in \left(-\dfrac{3}{e^2},\, 0\right)

.

Matematică #264 Admitere Politehnica București 2024 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie)