[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2023-varianta-f-admitere-anticipata

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2023-varianta-f-admitere-anticipata
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2023, Varianta F (admitere anticipată) · Matematică #083

10 grile din Derivate, Funcția de gradul I, Funcția de gradul II, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2023, Varianta F (admitere anticipată). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2023, Varianta F (admitere anticipată))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie ecuația $(x-[x])e^x=\dfrac{1}{9}$, unde prin $[x]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $x$. Câte soluții are această ecuație în intervalul $(-5,5)$?

a) $5$
b) $9$
c) $8$
d) $6$
e) $4$
f) $7$

Răspuns corect: c) $8$

Pe fiecare interval $[m,m+1)$, cu $m\in\mathbb{Z}$, avem $[x]=m$, iar ecuația devine $(x-m)e^x=\dfrac19$. Funcția $g(x)=(x-m)e^x$ este continuă și strict crescătoare pe $[m,m+1)$, cu $g(m)=0$ și valori care se apropie de $e^{m+1}$ fără să o atingă. Deci intervalul conține exact o soluție dacă $e^{m+1}>\dfrac19$, adică $m+1>-\ln 9\approx-2{,}2$, deci $m\ge-3$, și nicio soluție altfel.

Intervalul $(-5,5)$ acoperă $m\in\{-5,-4,\ldots,4\}$ (iar $x=-5$ nu este soluție). Convin $m\in\{-3,-2,\ldots,4\}$, adică $8$ valori, deci ecuația are $8$ soluții.

Subiect oficial · Admitere UPB, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, 2023, admitere anticipată, Varianta F, itemul 1 · cheie din baremul oficial

2. Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2\ln x$ și punctul $M(0,-2)$. Fie

$$A=\{x_0\in(0,\infty)\mid \text{tangenta la graficul funcției } f \text{ în punctul de abscisă } x_0 \text{ trece prin } M\}.$$

Atunci:

a) $A\subset(e^2,\infty)$
b) $A\subset(\sqrt{e},e)$
c) $A\subset(0,1)$
d) $A\subset(e\sqrt{e},e^2)$
e) $A\subset(1,\sqrt{e})$
f) $A\subset(e,e\sqrt{e})$

Răspuns corect: e) $A\subset(1,\sqrt{e})$

$f'(x)=2x\ln x+x$, deci tangenta în $x_0$ are ecuația $y-x_0^2\ln x_0=(2x_0\ln x_0+x_0)(x-x_0)$. Condiția ca ea să treacă prin $M(0,-2)$ dă $-2-x_0^2\ln x_0=-2x_0^2\ln x_0-x_0^2$, adică $x_0^2\ln x_0=2-x_0^2$, sau $\varphi(x_0)=0$, cu $\varphi(x)=\ln x+1-\dfrac{2}{x^2}$.

$\varphi'(x)=\dfrac1x+\dfrac{4}{x^3}>0$ pe $(0,\infty)$, deci $\varphi$ este strict crescătoare și are cel mult o rădăcină. Cum $\varphi(1)=-1<0$ și $\varphi(\sqrt{e})=\dfrac12+1-\dfrac2e>0$, rădăcina unică se află în $(1,\sqrt{e})$, deci $A\subset(1,\sqrt{e})$.

Subiect oficial · Admitere UPB, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, 2023, admitere anticipată, Varianta F, itemul 2 · cheie din baremul oficial

3. Fie ecuația $x^2-2x-8=0$, cu soluțiile reale $x_1$ și $x_2$. Atunci expresia $x_1^2x_2+x_1x_2^2$ este:

a) $16$
b) $21$
c) $14$
d) $-15$
e) $15$
f) $-16$

Răspuns corect: f) $-16$

$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$. Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=2$ și $x_1x_2=-8$, deci expresia este $-8\cdot2=-16$. (Rădăcinile sunt $4$ și $-2$: $16\cdot(-2)+4\cdot4=-16$.)

Subiect oficial · Admitere UPB, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, 2023, admitere anticipată, Varianta F, itemul 3 · cheie din baremul oficial

4. Să se rezolve inecuația $2x-1>x+2$.

a) $x\in(-1,3)$
b) $x\in(-3,-2)$
c) $x\in\varnothing$
d) $x\in(-\infty,-3)$
e) $x\in(3,\infty)$
f) $x\in(-2,-1)$

Răspuns corect: e) $x\in(3,\infty)$

Trecând termenii în membrul stâng: $2x-1-x-2>0$, adică $x-3>0$, deci $x>3$ și $x\in(3,\infty)$.

Subiect oficial · Admitere UPB, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, 2023, admitere anticipată, Varianta F, itemul 4 · cheie din baremul oficial

5. Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $7^{x^2-1}=343$ este:

a) $\{3;4\}$
b) $\{-1;1\}$
c) $\{1;4\}$
d) $\{-2;2\}$
e) $\{1;3\}$
f) $\{-3;1\}$

Răspuns corect: d) $\{-2;2\}$

$343=7^3$, iar funcția exponențială este injectivă, deci $x^2-1=3$, adică $x^2=4$ și $x\in\{-2;2\}$.

Subiect oficial · Admitere UPB, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, 2023, admitere anticipată, Varianta F, itemul 5 · cheie din baremul oficial