Fie funcția f:(0,∞)→ℝ, f(x)=x^2ln x și punctul M(0,-2). Fie A={x_0∈(0,∞)| tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x_0 trece prin M}. Atunci:

E) A⊂(1,√(e)). f'(x)=2xln x+x, deci tangenta în x_0 are ecuația y-x_0^2ln x_0=(2x_0ln x_0+x_0)(x-x_0). Condiția ca ea să treacă prin M(0,-2) dă -2-x_0^2ln x_0=-2x_0^2ln x_0-x_0^2, adică x_0^2ln x_0=2-x_0^2, sau φ(x_0)=0, cu φ(x)=ln x+1-(2)/(x^2). φ'(x)=dfrac1x+(4)/(x^3)>0 pe (0,∞), deci φ este strict crescătoare și are cel mult o rădăcină. Cum φ(1)=-1 0, rădăcina unică se află în (1,√(e)), deci A⊂(1,√(e)).

Fie ecuația x^2-2x-8=0, cu soluțiile reale x_1 și x_2. Atunci expresia x_1^2x_2+x_1x_2^2 este:

F) -16. x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2). Din relațiile lui Viète, x_1+x_2=2 și x_1x_2=-8, deci expresia este -8·2=-16. (Rădăcinile sunt 4 și -2: 16·(-2)+4·4=-16.)

Să se rezolve inecuația 2x-1>x+2.

E) x∈(3,∞). Trecând termenii în membrul stâng: 2x-1-x-2>0, adică x-3>0, deci x>3 și x∈(3,∞).

Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației 7^x^2-1=343 este:

D) {-2;2}. 343=7^3, iar funcția exponențială este injectivă, deci x^2-1=3, adică x^2=4 și x∈{-2;2}.

Grile Derivate · Matematică admitere Politehnica 2023

1/5

00:00

Fie ecuația

(x-[x])e^x=\dfrac{1}{9}

, unde prin

[x]

s-a notat partea întreagă a numărului real

x

. Câte soluții are această ecuație în intervalul

(-5,5)

?

Fie ecuația $(x-[x])e^x=\dfrac{1}{9}$ , unde prin $[x]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $x$ . Câte soluții are această ecuație în intervalul $(-5,5)$ ?
1. $5$
2. $9$
3. $8$
4. $6$
5. $4$
6. $7$
Pe fiecare interval $[m,m+1)$ , cu $m\in\mathbb{Z}$ , avem $[x]=m$ , iar ecuația devine $(x-m)e^x=\dfrac19$ . Funcția $g(x)=(x-m)e^x$ este continuă și strict crescătoare pe $[m,m+1)$ , cu $g(m)=0$ și valori care se apropie de $e^{m+1}$ fără să o atingă. Deci intervalul conține exact o soluție dacă $e^{m+1}>\dfrac19$ , adică $m+1>-\ln 9\approx-2{,}2$ , deci $m\ge-3$ , și nicio soluție altfel.Intervalul $(-5,5)$ acoperă $m\in\{-5,-4,\ldots,4\}$ (iar $x=-5$ nu este soluție). Convin $m\in\{-3,-2,\ldots,4\}$ , adică $8$ valori, deci ecuația are $8$ soluții.
Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2\ln x$ și punctul $M(0,-2)$ . Fie $A=\{x_0\in(0,\infty)\mid \text{tangenta la graficul funcției } f \text{ în punctul de abscisă } x_0 \text{ trece prin } M\}.$ Atunci:
1. $A\subset(e^2,\infty)$
2. $A\subset(\sqrt{e},e)$
3. $A\subset(0,1)$
4. $A\subset(e\sqrt{e},e^2)$
5. $A\subset(1,\sqrt{e})$
6. $A\subset(e,e\sqrt{e})$
$f'(x)=2x\ln x+x$ , deci tangenta în $x_0$ are ecuația $y-x_0^2\ln x_0=(2x_0\ln x_0+x_0)(x-x_0)$ . Condiția ca ea să treacă prin $M(0,-2)$ dă $-2-x_0^2\ln x_0=-2x_0^2\ln x_0-x_0^2$ , adică $x_0^2\ln x_0=2-x_0^2$ , sau $\varphi(x_0)=0$ , cu $\varphi(x)=\ln x+1-\dfrac{2}{x^2}$ . $\varphi'(x)=\dfrac1x+\dfrac{4}{x^3}>0$ pe $(0,\infty)$ , deci $\varphi$ este strict crescătoare și are cel mult o rădăcină. Cum $\varphi(1)=-1<0$ și $\varphi(\sqrt{e})=\dfrac12+1-\dfrac2e>0$ , rădăcina unică se află în $(1,\sqrt{e})$ , deci $A\subset(1,\sqrt{e})$ .
Fie ecuația $x^2-2x-8=0$ , cu soluțiile reale $x_1$ și $x_2$ . Atunci expresia $x_1^2x_2+x_1x_2^2$ este:
1. $16$
2. $21$
3. $14$
4. $-15$
5. $15$
6. $-16$
$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$ . Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=2$ și $x_1x_2=-8$ , deci expresia este $-8\cdot2=-16$ . (Rădăcinile sunt $4$ și $-2$ : $16\cdot(-2)+4\cdot4=-16$ .)
Să se rezolve inecuația $2x-1>x+2$ .
1. $x\in(-1,3)$
2. $x\in(-3,-2)$
3. $x\in\varnothing$
4. $x\in(-\infty,-3)$
5. $x\in(3,\infty)$
6. $x\in(-2,-1)$
Trecând termenii în membrul stâng: $2x-1-x-2>0$ , adică $x-3>0$ , deci $x>3$ și $x\in(3,\infty)$ .
Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $7^{x^2-1}=343$ este:
1. $\{3;4\}$
2. $\{-1;1\}$
3. $\{1;4\}$
4. $\{-2;2\}$
5. $\{1;3\}$
6. $\{-3;1\}$
$343=7^3$ , iar funcția exponențială este injectivă, deci $x^2-1=3$ , adică $x^2=4$ și $x\in\{-2;2\}$ .

Fie ecuația $(x-[x])e^x=\dfrac{1}{9}$ , unde prin $[x]$ s-a notat partea întreagă a numărului real $x$ . Câte soluții are această ecuație în intervalul $(-5,5)$ ?
1. $5$
2. $9$
3. $8$
4. $6$
5. $4$
6. $7$
Pe fiecare interval $[m,m+1)$ , cu $m\in\mathbb{Z}$ , avem $[x]=m$ , iar ecuația devine $(x-m)e^x=\dfrac19$ . Funcția $g(x)=(x-m)e^x$ este continuă și strict crescătoare pe $[m,m+1)$ , cu $g(m)=0$ și valori care se apropie de $e^{m+1}$ fără să o atingă. Deci intervalul conține exact o soluție dacă $e^{m+1}>\dfrac19$ , adică $m+1>-\ln 9\approx-2{,}2$ , deci $m\ge-3$ , și nicio soluție altfel.Intervalul $(-5,5)$ acoperă $m\in\{-5,-4,\ldots,4\}$ (iar $x=-5$ nu este soluție). Convin $m\in\{-3,-2,\ldots,4\}$ , adică $8$ valori, deci ecuația are $8$ soluții.
Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2\ln x$ și punctul $M(0,-2)$ . Fie $A=\{x_0\in(0,\infty)\mid \text{tangenta la graficul funcției } f \text{ în punctul de abscisă } x_0 \text{ trece prin } M\}.$ Atunci:
1. $A\subset(e^2,\infty)$
2. $A\subset(\sqrt{e},e)$
3. $A\subset(0,1)$
4. $A\subset(e\sqrt{e},e^2)$
5. $A\subset(1,\sqrt{e})$
6. $A\subset(e,e\sqrt{e})$
$f'(x)=2x\ln x+x$ , deci tangenta în $x_0$ are ecuația $y-x_0^2\ln x_0=(2x_0\ln x_0+x_0)(x-x_0)$ . Condiția ca ea să treacă prin $M(0,-2)$ dă $-2-x_0^2\ln x_0=-2x_0^2\ln x_0-x_0^2$ , adică $x_0^2\ln x_0=2-x_0^2$ , sau $\varphi(x_0)=0$ , cu $\varphi(x)=\ln x+1-\dfrac{2}{x^2}$ . $\varphi'(x)=\dfrac1x+\dfrac{4}{x^3}>0$ pe $(0,\infty)$ , deci $\varphi$ este strict crescătoare și are cel mult o rădăcină. Cum $\varphi(1)=-1<0$ și $\varphi(\sqrt{e})=\dfrac12+1-\dfrac2e>0$ , rădăcina unică se află în $(1,\sqrt{e})$ , deci $A\subset(1,\sqrt{e})$ .
Fie ecuația $x^2-2x-8=0$ , cu soluțiile reale $x_1$ și $x_2$ . Atunci expresia $x_1^2x_2+x_1x_2^2$ este:
1. $16$
2. $21$
3. $14$
4. $-15$
5. $15$
6. $-16$
$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$ . Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=2$ și $x_1x_2=-8$ , deci expresia este $-8\cdot2=-16$ . (Rădăcinile sunt $4$ și $-2$ : $16\cdot(-2)+4\cdot4=-16$ .)
Să se rezolve inecuația $2x-1>x+2$ .
1. $x\in(-1,3)$
2. $x\in(-3,-2)$
3. $x\in\varnothing$
4. $x\in(-\infty,-3)$
5. $x\in(3,\infty)$
6. $x\in(-2,-1)$
Trecând termenii în membrul stâng: $2x-1-x-2>0$ , adică $x-3>0$ , deci $x>3$ și $x\in(3,\infty)$ .
Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $7^{x^2-1}=343$ este:
1. $\{3;4\}$
2. $\{-1;1\}$
3. $\{1;4\}$
4. $\{-2;2\}$
5. $\{1;3\}$
6. $\{-3;1\}$
$343=7^3$ , iar funcția exponențială este injectivă, deci $x^2-1=3$ , adică $x^2=4$ și $x\in\{-2;2\}$ .

Matematică #083 Admitere Politehnica București 2023, Varianta F (admitere anticipată)