[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2023-varianta-e-iulie

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2023-varianta-e-iulie
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2023, Varianta E (iulie) · Matematică #086

10 grile din Aplicații ale derivatelor, Derivate, Funcții elementare, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2023, Varianta E (iulie). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2023, Varianta E (iulie))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Să se rezolve sistemul $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}$.

a) $x=0;\ y=3$
b) $x=3;\ y=4$
c) $x=0;\ y=1$
d) $x=1;\ y=1$
e) $x=3;\ y=2$
f) $x=1;\ y=-1$

Răspuns corect: e) $x=3;\ y=2$

Adunând ecuațiile: $2x=6$, deci $x=3$. Scăzându-le: $2y=4$, deci $y=2$. Verificare: $3+2=5$ și $3-2=1$.

Subiect oficial · Admitere UPB, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, iulie 2023, Varianta E, itemul 1 · cheie din baremul oficial

2. Să se determine mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{1-5x}+x=1$.

a) $\{-1;\,1\}$
b) $\{1;\,3\}$
c) $\{-3;\,0\}$
d) $\{3;\,4\}$
e) $\{-2;\,1\}$
f) $\{-1;\,0\}$

Răspuns corect: c) $\{-3;\,0\}$

Condiția de existență: $1-5x\ge0$, adică $x\le\dfrac15$. Ecuația se scrie $\sqrt{1-5x}=1-x$, deci mai trebuie $1-x\ge0$, adevărat pentru $x\le\dfrac15$.

Ridicând la pătrat: $1-5x=1-2x+x^2\Leftrightarrow x^2+3x=0\Leftrightarrow x(x+3)=0$, deci $x\in\{-3,0\}$. Ambele valori sunt $\le\dfrac15$ și verifică ecuația ($\sqrt{16}-3=1$, $\sqrt1+0=1$), așadar mulțimea soluțiilor este $\{-3;\,0\}$.

Subiect oficial · Admitere UPB, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, iulie 2023, Varianta E, itemul 2 · cheie din baremul oficial

3. Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^4+3x^2$. Să se calculeze $f'(1)$.

a) $6$
b) $7$
c) $8$
d) $10$
e) $9$
f) $11$

Răspuns corect: d) $10$

Derivăm termen cu termen: $f'(x)=4x^3+6x$. Atunci $f'(1)=4\cdot1+6\cdot1=10$.

Subiect oficial · Admitere UPB, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, iulie 2023, Varianta E, itemul 3 · cheie din baremul oficial

4. Să se calculeze $l=\displaystyle\lim_{\alpha\to\infty}\int_0^{\alpha}\dfrac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}\,dx$.

a) $l=\dfrac{\pi}{3}$
b) $l=\operatorname{arctg}2$
c) $l=\dfrac{\pi}{2}$
d) $l=\operatorname{arctg}\dfrac13$
e) $l=\operatorname{arctg}3$
f) $l=\dfrac{\pi}{4}$

Răspuns corect: f) $l=\dfrac{\pi}{4}$

Numitorul se factorizează: $x^4+2x^3+3x^2+2x+2=(x^2+1)(x^2+2x+2)$. Descompunerea în fracții simple dă $\dfrac{2x+1}{(x^2+1)(x^2+2x+2)}=\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2+1}$ (verificare: $(x^2+2x+2)-(x^2+1)=2x+1$).

Atunci $\displaystyle\int_0^{\alpha}=\operatorname{arctg}\alpha-\operatorname{arctg}(\alpha+1)+\operatorname{arctg}1$. Pentru $\alpha\to\infty$ cele două arctangente tind amândouă la $\dfrac{\pi}{2}$ și se anulează reciproc, deci $l=\operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}$.

Subiect oficial · Admitere UPB, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, iulie 2023, Varianta E, itemul 4 · cheie din baremul oficial

5. Soluția ecuației $9^{x+1}=81$ este:

a) $x=-3$
b) $x=1$
c) $x=2$
d) $x=-1$
e) $x=0$
f) $x=-2$

Răspuns corect: b) $x=1$

Scriem $81=9^2$, deci $9^{x+1}=9^2$. Funcția exponențială fiind injectivă, $x+1=2$, adică $x=1$.

Subiect oficial · Admitere UPB, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, iulie 2023, Varianta E, itemul 5 · cheie din baremul oficial