Să se rezolve sistemul x+y=5; x-y=1.

E) x=3; y=2. Adunând ecuațiile: 2x=6, deci x=3. Scăzându-le: 2y=4, deci y=2. Verificare: 3+2=5 și 3-2=1.

Să se determine mulțimea soluțiilor reale ale ecuației √(1-5x)+x=1.

C) {-3; 0}. Condiția de existență: 1-5x≥0, adică x≤dfrac15. Ecuația se scrie √(1-5x)=1-x, deci mai trebuie 1-x≥0, adevărat pentru x≤dfrac15. Ridicând la pătrat: 1-5x=1-2x+x^2⇔ x^2+3x=0⇔ x(x+3)=0, deci x∈{-3,0}. Ambele valori sunt ≤dfrac15 și verifică ecuația (√(16)-3=1, sqrt1+0=1), așadar mulțimea soluțiilor este {-3; 0}.

Fie f:ℝ→ℝ, f(x)=x^4+3x^2. Să se calculeze f'(1).

D) 10. Derivăm termen cu termen: f'(x)=4x^3+6x. Atunci f'(1)=4·1+6·1=10.

Să se calculeze l=lim_α→∞∫_0^α(2x+1)/(x^4+2x^3+3x^2+2x+2) dx.

F) l=(π)/(4). Numitorul se factorizează: x^4+2x^3+3x^2+2x+2=(x^2+1)(x^2+2x+2). Descompunerea în fracții simple dă (2x+1)/((x^2+1)(x^2+2x+2))=(1)/(x^2+1)-(1)/((x+1)^2+1) (verificare: (x^2+2x+2)-(x^2+1)=2x+1). Atunci ∫_0^α=arctgα-arctg(α+1)+arctg1. Pentru α→∞ cele două arctangente tind amândouă la (π)/(2) și se anulează reciproc, deci l=arctg1=(π)/(4).

Soluția ecuației 9^x+1=81 este:

B) x=1. Scriem 81=9^2, deci 9^x+1=9^2. Funcția exponențială fiind injectivă, x+1=2, adică x=1.

Grile Aplicații ale derivatelor · Matematică Politehnica 2023

1/5

00:00

Să se rezolve sistemul

\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}

Să se rezolve sistemul $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}$
1. $x=0;\ y=3$
2. $x=3;\ y=4$
3. $x=0;\ y=1$
4. $x=1;\ y=1$
5. $x=3;\ y=2$
6. $x=1;\ y=-1$
Adunând ecuațiile: $2x=6$ , deci $x=3$ . Scăzându-le: $2y=4$ , deci $y=2$ . Verificare: $3+2=5$ și $3-2=1$ .
Să se determine mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{1-5x}+x=1$ .
1. $\{-1;\,1\}$
2. $\{1;\,3\}$
3. $\{-3;\,0\}$
4. $\{3;\,4\}$
5. $\{-2;\,1\}$
6. $\{-1;\,0\}$
Condiția de existență: $1-5x\ge0$ , adică $x\le\dfrac15$ . Ecuația se scrie $\sqrt{1-5x}=1-x$ , deci mai trebuie $1-x\ge0$ , adevărat pentru $x\le\dfrac15$ .Ridicând la pătrat: $1-5x=1-2x+x^2\Leftrightarrow x^2+3x=0\Leftrightarrow x(x+3)=0$ , deci $x\in\{-3,0\}$ . Ambele valori sunt $\le\dfrac15$ și verifică ecuația ( $\sqrt{16}-3=1$ , $\sqrt1+0=1$ ), așadar mulțimea soluțiilor este $\{-3;\,0\}$ .
Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^4+3x^2$ . Să se calculeze $f'(1)$ .
1. $6$
2. $7$
3. $8$
4. $10$
5. $9$
6. $11$
Derivăm termen cu termen: $f'(x)=4x^3+6x$ . Atunci $f'(1)=4\cdot1+6\cdot1=10$ .
Să se calculeze $l=\displaystyle\lim_{\alpha\to\infty}\int_0^{\alpha}\dfrac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}\,dx$
1. $l=\dfrac{\pi}{3}$
2. $l=\operatorname{arctg}2$
3. $l=\dfrac{\pi}{2}$
4. $l=\operatorname{arctg}\dfrac13$
5. $l=\operatorname{arctg}3$
6. $l=\dfrac{\pi}{4}$
Numitorul se factorizează: $x^4+2x^3+3x^2+2x+2=(x^2+1)(x^2+2x+2)$ . Descompunerea în fracții simple dă $\dfrac{2x+1}{(x^2+1)(x^2+2x+2)}=\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2+1}$ (verificare: $(x^2+2x+2)-(x^2+1)=2x+1$ ).Atunci $\displaystyle\int_0^{\alpha}=\operatorname{arctg}\alpha-\operatorname{arctg}(\alpha+1)+\operatorname{arctg}1$ . Pentru $\alpha\to\infty$ cele două arctangente tind amândouă la $\dfrac{\pi}{2}$ și se anulează reciproc, deci $l=\operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}$ .
Soluția ecuației $9^{x+1}=81$ este:
1. $x=-3$
2. $x=1$
3. $x=2$
4. $x=-1$
5. $x=0$
6. $x=-2$
Scriem $81=9^2$ , deci $9^{x+1}=9^2$ . Funcția exponențială fiind injectivă, $x+1=2$ , adică $x=1$ .

Să se rezolve sistemul $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}$
1. $x=0;\ y=3$
2. $x=3;\ y=4$
3. $x=0;\ y=1$
4. $x=1;\ y=1$
5. $x=3;\ y=2$
6. $x=1;\ y=-1$
Adunând ecuațiile: $2x=6$ , deci $x=3$ . Scăzându-le: $2y=4$ , deci $y=2$ . Verificare: $3+2=5$ și $3-2=1$ .
Să se determine mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $\sqrt{1-5x}+x=1$ .
1. $\{-1;\,1\}$
2. $\{1;\,3\}$
3. $\{-3;\,0\}$
4. $\{3;\,4\}$
5. $\{-2;\,1\}$
6. $\{-1;\,0\}$
Condiția de existență: $1-5x\ge0$ , adică $x\le\dfrac15$ . Ecuația se scrie $\sqrt{1-5x}=1-x$ , deci mai trebuie $1-x\ge0$ , adevărat pentru $x\le\dfrac15$ .Ridicând la pătrat: $1-5x=1-2x+x^2\Leftrightarrow x^2+3x=0\Leftrightarrow x(x+3)=0$ , deci $x\in\{-3,0\}$ . Ambele valori sunt $\le\dfrac15$ și verifică ecuația ( $\sqrt{16}-3=1$ , $\sqrt1+0=1$ ), așadar mulțimea soluțiilor este $\{-3;\,0\}$ .
Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^4+3x^2$ . Să se calculeze $f'(1)$ .
1. $6$
2. $7$
3. $8$
4. $10$
5. $9$
6. $11$
Derivăm termen cu termen: $f'(x)=4x^3+6x$ . Atunci $f'(1)=4\cdot1+6\cdot1=10$ .
Să se calculeze $l=\displaystyle\lim_{\alpha\to\infty}\int_0^{\alpha}\dfrac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}\,dx$
1. $l=\dfrac{\pi}{3}$
2. $l=\operatorname{arctg}2$
3. $l=\dfrac{\pi}{2}$
4. $l=\operatorname{arctg}\dfrac13$
5. $l=\operatorname{arctg}3$
6. $l=\dfrac{\pi}{4}$
Numitorul se factorizează: $x^4+2x^3+3x^2+2x+2=(x^2+1)(x^2+2x+2)$ . Descompunerea în fracții simple dă $\dfrac{2x+1}{(x^2+1)(x^2+2x+2)}=\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2+1}$ (verificare: $(x^2+2x+2)-(x^2+1)=2x+1$ ).Atunci $\displaystyle\int_0^{\alpha}=\operatorname{arctg}\alpha-\operatorname{arctg}(\alpha+1)+\operatorname{arctg}1$ . Pentru $\alpha\to\infty$ cele două arctangente tind amândouă la $\dfrac{\pi}{2}$ și se anulează reciproc, deci $l=\operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}$ .
Soluția ecuației $9^{x+1}=81$ este:
1. $x=-3$
2. $x=1$
3. $x=2$
4. $x=-1$
5. $x=0$
6. $x=-2$
Scriem $81=9^2$ , deci $9^{x+1}=9^2$ . Funcția exponențială fiind injectivă, $x+1=2$ , adică $x=1$ .

Matematică #086 Admitere Politehnica București 2023, Varianta E (iulie)