[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2023-geometrie-si-trigonometrie-varianta-a-iulie

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2023-geometrie-si-trigonometrie-varianta-a-iulie
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2023 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta A (iulie) · Matematică #116

10 grile din Drepte în plan, Cercul trigonometric, Distanțe și arii, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2023 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta A (iulie). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2023 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta A (iulie))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Se consideră dreptele de ecuații $d_1: 2x+y-3=0$ și $d_2: x+2y-3=0$.

Dacă $y=a_1x+b_1$ și $y=a_2x+b_2$, cu $a_1, b_1, a_2, b_2\in\mathbb{R}$, sunt ecuațiile celor două drepte bisectoare ale unghiurilor rezultate din intersecția dreptelor $d_1$ și $d_2$, atunci suma $S=b_1+b_2$ este:

a) $3$
b) $2$
c) $0$
d) $1$
e) $5$
f) $-3$

Răspuns corect: b) $2$

Un punct $M(x,y)$ este pe una dintre bisectoare exact când este egal depărtat de cele două drepte: $\dfrac{|2x+y-3|}{\sqrt{5}}=\dfrac{|x+2y-3|}{\sqrt{5}}$, adică $2x+y-3=\pm(x+2y-3)$.

Cu semnul $+$ se obține $y=x$, deci $b=0$; cu semnul $-$ se obține $3x+3y-6=0$, adică $y=-x+2$, deci $b=2$. Așadar $S=0+2=2$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2023, Concurs unificat (ETTI), Geometrie și Trigonometrie, Varianta A (iulie), itemul 1 · cheie din baremul oficial

2. Valoarea parametrului real $m$ pentru care punctul $P(0,m)$ aparține dreptei de ecuație $d: 2x+y=1$ este:

a) $0$
b) $-\dfrac{1}{2}$
c) $-1$
d) $1$
e) $2$
f) $\dfrac{1}{2}$

Răspuns corect: d) $1$

Punctul aparține dreptei dacă coordonatele lui verifică ecuația: $2\cdot 0+m=1$, deci $m=1$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2023, Concurs unificat (ETTI), Geometrie și Trigonometrie, Varianta A (iulie), itemul 2 · cheie din baremul oficial

3. Dacă $\operatorname{tg}\alpha=1$, atunci valoarea expresiei $E=\cos\alpha-\sin\alpha$ este:

a) $\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$
b) $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
c) $0$
d) $1$
e) $\dfrac{1}{2}$
f) $\sqrt{3}$

Răspuns corect: c) $0$

Din $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=1$ rezultă $\sin\alpha=\cos\alpha$, deci $E=\cos\alpha-\sin\alpha=0$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2023, Concurs unificat (ETTI), Geometrie și Trigonometrie, Varianta A (iulie), itemul 3 · cheie din baremul oficial

4. Valoarea expresiei $E=\sin\alpha\cdot\cos(3\alpha)$ pentru $\alpha=30^\circ$ este:

a) $1$
b) $-1$
c) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
d) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
e) $\dfrac{1}{2}$
f) $0$

Răspuns corect: f) $0$

Pentru $\alpha=30^\circ$ avem $3\alpha=90^\circ$, deci $E=\sin 30^\circ\cdot\cos 90^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot 0=0$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2023, Concurs unificat (ETTI), Geometrie și Trigonometrie, Varianta A (iulie), itemul 4 · cheie din baremul oficial

5. În reperul cartezian $xOy$, punctele $A(0,0)$ și $B(6,8)$ reprezintă vârfuri ale triunghiului echilateral $ABC$. Dacă vârful $C$ este situat în al doilea cadran, atunci ordonata acestuia este:

a) $1+\sqrt{10}$
b) $4+3\sqrt{3}$
c) $\sqrt{10}$
d) $5$
e) $4-3\sqrt{3}$
f) $10$

Răspuns corect: b) $4+3\sqrt{3}$

Latura triunghiului este $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$. Vârful $C(x,y)$ verifică $x^2+y^2=100$ și $(x-6)^2+(y-8)^2=100$; scăzând cele două ecuații rezultă $3x+4y=25$.

Înlocuind $x=\dfrac{25-4y}{3}$ în prima ecuație se obține $y^2-8y-11=0$, deci $y=4\pm3\sqrt{3}$. Pentru $y=4+3\sqrt{3}$ avem $x=3-4\sqrt{3}<0$, deci $C$ este în cadranul al doilea; cealaltă soluție dă $y<0$. Ordonata este $4+3\sqrt{3}$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2023, Concurs unificat (ETTI), Geometrie și Trigonometrie, Varianta A (iulie), itemul 5 · cheie din baremul oficial