Matematică #116 Admitere Politehnica București 2023 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta A (iulie)
1/5
00:00
Se consideră dreptele de ecuații d1:2x+y−3=0 și d2:x+2y−3=0.Dacă y=a1x+b1 și y=a2x+b2, cu a1,b1,a2,b2∈R, sunt ecuațiile celor două drepte bisectoare ale unghiurilor rezultate din intersecția dreptelor d1 și d2, atunci suma S=b1+b2 este:
Se consideră dreptele de ecuații d1:2x+y−3=0 și d2:x+2y−3=0.Dacă y=a1x+b1 și y=a2x+b2, cu a1,b1,a2,b2∈R, sunt ecuațiile celor două drepte bisectoare ale unghiurilor rezultate din intersecția dreptelor d1 și d2, atunci suma S=b1+b2 este:
3
2
0
1
5
−3
Un punct M(x,y) este pe una dintre bisectoare exact când este egal depărtat de cele două drepte: 5∣2x+y−3∣=5∣x+2y−3∣, adică 2x+y−3=±(x+2y−3).Cu semnul + se obține y=x, deci b=0; cu semnul − se obține 3x+3y−6=0, adică y=−x+2, deci b=2. Așadar S=0+2=2.
Valoarea parametrului real m pentru care punctul P(0,m) aparține dreptei de ecuație d:2x+y=1 este:
0
−21
−1
1
2
21
Punctul aparține dreptei dacă coordonatele lui verifică ecuația: 2⋅0+m=1, deci m=1.
Dacă tgα=1, atunci valoarea expresiei E=cosα−sinα este:
23−2
33
0
1
21
3
Din tgα=cosαsinα=1 rezultă sinα=cosα, deci E=cosα−sinα=0.
Valoarea expresiei E=sinα⋅cos(3α) pentru α=30∘ este:
1
−1
22
23
21
0
Pentru α=30∘ avem 3α=90∘, deci E=sin30∘⋅cos90∘=21⋅0=0.
În reperul cartezian xOy, punctele A(0,0) și B(6,8) reprezintă vârfuri ale triunghiului echilateral ABC. Dacă vârful C este situat în al doilea cadran, atunci ordonata acestuia este:
1+10
4+33
10
5
4−33
10
Latura triunghiului este AB=62+82=10. Vârful C(x,y) verifică x2+y2=100 și (x−6)2+(y−8)2=100; scăzând cele două ecuații rezultă 3x+4y=25.Înlocuind x=325−4y în prima ecuație se obține y2−8y−11=0, deci y=4±33. Pentru y=4+33 avem x=3−43<0, deci C este în cadranul al doilea; cealaltă soluție dă y<0. Ordonata este 4+33.