Matematică #084 Admitere Politehnica București 2022, Varianta A (admitere anticipată)
1/5
00:00
Suma pătratelor soluțiilor reale ale ecuației x2−5x+6=0 este:
Suma pătratelor soluțiilor reale ale ecuației x2−5x+6=0 este:
4
8
16
14
10
13
Din relațiile lui Viète, x1+x2=5 și x1x2=6, deci x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=25−12=13. Verificare: soluțiile sunt 2 și 3, iar 4+9=13.
Mulțimea soluțiilor ecuației 9x−8⋅3x+1−81=0 este:
{2}
{3}
{−3}
{−1}
{−2}
∅
Cu y=3x>0, ecuația devine y2−24y−81=0, cu rădăcinile y=27 și y=−3. Rădăcina negativă nu convine, deci 3x=27=33 și x=3.
Mulțimea soluțiilor ecuației 2x−4+x=2 este:
{0,4}
{0,1}
{2,4}
{3}
{1,4}
{2}
Radicalul există pentru 2x−4≥0, adică x≥2. Cum 2x−4=2−x≥0, trebuie și x≤2, deci singurul candidat este x=2, care verifică: 0+2=2. Ridicarea la pătrat dă și x=4, dar aceasta nu verifică ecuația (2+4=2).
Se dă funcția f:R→R, f(x)=x3+2x−1. Să se calculeze f′(1).
11
3
2
14
4
5
f′(x)=3x2+2, deci f′(1)=3+2=5.
Se consideră sistemul ⎩⎨⎧2x+ay+az=13x+(2a−1)y+az=a(a+3)x+ay+az=3a−2Să se afle a∈R astfel încât sistemul să fie compatibil nedeterminat.
a=−1
a=0
a=2
a=−2
a=4
a=1
Determinantul matricei coeficienților este −a(a−1)(a+1); un sistem compatibil nedeterminat cere ca el să fie nul, deci a∈{−1,0,1}. Pentru a=0 și a=−1 minorul caracteristic al celei de-a treia ecuații este nenul, deci sistemul e incompatibil (Rouché). Pentru a=1 ecuațiile devin 2x+y+z=1, 3x+y+z=1, 4x+y+z=1; a treia este de două ori a doua minus prima, deci rangul matricei extinse rămâne 2<3: sistem compatibil nedeterminat. Deci a=1.