[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2022-varianta-1-iulie

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2022-varianta-1-iulie
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2022, Varianta 1 (iulie) · Matematică #085

10 grile din Aplicații ale derivatelor, Derivate, Determinanți, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2022, Varianta 1 (iulie). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2022, Varianta 1 (iulie))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie sistemul $\begin{cases}mx+y-z=1\\ x+y-z=2\\ -x+y+z=0\end{cases}$, unde $m$ este un parametru real. Pentru câte valori $m\in\mathbb{Z}$ sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$, cu componentele numere întregi?

a) $4$
b) $3$
c) $1$
d) $\text{o infinitate}$
e) $2$
f) $5$

Răspuns corect: e) $2$

Scăzând linia a doua din prima, $\Delta=\begin{vmatrix}m&1&-1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}m-1&0&0\\1&1&-1\\-1&1&1\end{vmatrix}=2(m-1)$, deci soluția este unică exact pentru $m\ne1$.

Cu regula lui Cramer: $x_0=-\dfrac{1}{m-1}$, $y_0=1$, $z_0=-\dfrac{m}{m-1}=x_0-1$. Așadar toate componentele sunt întregi exact când $x_0\in\mathbb{Z}$, adică $(m-1)\mid 1$: $m-1\in\{-1,1\}$, deci $m\in\{0,2\}$ — două valori.

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, AC/ETTI, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta 1 (iulie), itemul 1 · cheie din baremul oficial

2. Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x^2$. Să se calculeze $f'(1)$.

a) $4$
b) $3$
c) $0$
d) $2$
e) $5$
f) $7$

Răspuns corect: e) $5$

Derivând termen cu termen, $f'(x)=3x^2+2x$, deci $f'(1)=3+2=5$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, AC/ETTI, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta 1 (iulie), itemul 2 · cheie din baremul oficial

3. Ecuația $2^{2x+1}=8$ are soluția:

a) $x=-1$
b) $x=2$
c) $x=1$
d) $x=0$
e) $x=3$
f) $x=-2$

Răspuns corect: c) $x=1$

Cum $8=2^3$, ecuația devine $2^{2x+1}=2^3$. Funcția exponențială este injectivă, deci $2x+1=3$ și $x=1$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, AC/ETTI, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta 1 (iulie), itemul 3 · cheie din baremul oficial

4. Determinantul matricei $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ este:

a) $3$
b) $6$
c) $1$
d) $5$
e) $4$
f) $0$

Răspuns corect: a) $3$

Pentru o matrice de ordinul doi, $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$, deci $\det A=2\cdot2-1\cdot1=3$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, AC/ETTI, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta 1 (iulie), itemul 4 · cheie din baremul oficial

5. Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\displaystyle\int_0^1|x-t|\,dt$. Să se calculeze $I=\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x)\,dx$.

a) $I=\dfrac{11}{2}$
b) $I=\dfrac{8}{5}$
c) $I=\dfrac{4}{3}$
d) $I=\dfrac{1}{2}$
e) $I=\dfrac{1}{5}$
f) $I=\dfrac{7}{3}$

Răspuns corect: f) $I=\dfrac{7}{3}$

Explicităm modulul după poziția lui $x$ față de $[0,1]$:
- dacă $x\le0$, $|x-t|=t-x$, deci $f(x)=\dfrac12-x$;
- dacă $x\in(0,1)$, $f(x)=\displaystyle\int_0^x(x-t)\,dt+\int_x^1(t-x)\,dt=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{(1-x)^2}{2}=x^2-x+\dfrac12$;
- dacă $x\ge1$, $|x-t|=x-t$, deci $f(x)=x-\dfrac12$.

Spargem intervalul $[-1,2]=[-1,0]\cup[0,1]\cup[1,2]$:
$$I=\int_{-1}^{0}\Big(\tfrac12-x\Big)dx+\int_0^1\Big(x^2-x+\tfrac12\Big)dx+\int_1^2\Big(x-\tfrac12\Big)dx=1+\frac13+1=\frac73.$$

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, AC/ETTI, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta 1 (iulie), itemul 5 · cheie din baremul oficial