Fie sistemul mx+y-z=1; x+y-z=2; -x+y+z=0, unde m este un parametru real. Pentru câte valori m∈ℤ sistemul are soluție unică (x_0,y_0,z_0), cu componentele numere întregi?

E) 2. Scăzând linia a doua din prima, Δ= m 1 -1; 1 1 -1; -1 1 1 = m-1 0 0; 1 1 -1; -1 1 1 =2(m-1), deci soluția este unică exact pentru m≠1. Cu regula lui Cramer: x_0=-(1)/(m-1), y_0=1, z_0=-(m)/(m-1)=x_0-1. Așadar toate componentele sunt întregi exact când x_0∈ℤ, adică (m-1)| 1: m-1∈{-1,1}, deci m∈{0,2} — două valori.

Fie f:ℝ→ℝ, f(x)=x^3+x^2. Să se calculeze f'(1).

E) 5. Derivând termen cu termen, f'(x)=3x^2+2x, deci f'(1)=3+2=5.

Ecuația 2^2x+1=8 are soluția:

C) x=1. Cum 8=2^3, ecuația devine 2^2x+1=2^3. Funcția exponențială este injectivă, deci 2x+1=3 și x=1.

Determinantul matricei A= 2 1; 1 2 este:

A) 3. Pentru o matrice de ordinul doi, a b; c d =ad-bc, deci det A=2·2-1·1=3.

Fie f:ℝ→ℝ, f(x)=∫_0^1|x-t| dt. Să se calculeze I=∫_-1^2f(x) dx.

F) I=(7)/(3). Explicităm modulul după poziția lui x față de [0,1]: - dacă x≤0, |x-t|=t-x, deci f(x)=dfrac12-x; - dacă x∈(0,1), f(x)=∫_0^x(x-t) dt+∫_x^1(t-x) dt=(x^2)/(2)+((1-x)^2)/(2)=x^2-x+dfrac12; - dacă x≥1, |x-t|=x-t, deci f(x)=x-dfrac12. Spargem intervalul [-1,2]=[-1,0]∪[0,1]∪[1,2]: I=∫_-1^0(tfrac12-x)dx+∫_0^1(x^2-x+tfrac12)dx+∫_1^2(x-tfrac12)dx=1+frac13+1=frac73.

Grile Aplicații ale derivatelor · Matematică Politehnica 2022

1/5

00:00

Fie sistemul

\begin{cases}mx+y-z=1\\ x+y-z=2\\ -x+y+z=0\end{cases}

unde

m

este un parametru real. Pentru câte valori

m\in\mathbb{Z}

sistemul are soluție unică

(x_0,y_0,z_0)

, cu componentele numere întregi?

Fie sistemul $\begin{cases}mx+y-z=1\\ x+y-z=2\\ -x+y+z=0\end{cases}$ unde $m$ este un parametru real. Pentru câte valori $m\in\mathbb{Z}$ sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$ , cu componentele numere întregi?
1. $4$
2. $3$
3. $1$
4. $\text{o infinitate}$
5. $2$
6. $5$
Scăzând linia a doua din prima, $\Delta=\begin{vmatrix}m&1&-1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}m-1&0&0\\1&1&-1\\-1&1&1\end{vmatrix}=2(m-1)$ deci soluția este unică exact pentru $m\ne1$ .Cu regula lui Cramer: $x_0=-\dfrac{1}{m-1}$ , $y_0=1$ , $z_0=-\dfrac{m}{m-1}=x_0-1$ . Așadar toate componentele sunt întregi exact când $x_0\in\mathbb{Z}$ , adică $(m-1)\mid 1$ : $m-1\in\{-1,1\}$ , deci $m\in\{0,2\}$ — două valori.
Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^3+x^2$ . Să se calculeze $f'(1)$ .
1. $4$
2. $3$
3. $0$
4. $2$
5. $5$
6. $7$
Derivând termen cu termen, $f'(x)=3x^2+2x$ , deci $f'(1)=3+2=5$ .
Ecuația $2^{2x+1}=8$ are soluția:
1. $x=-1$
2. $x=2$
3. $x=1$
4. $x=0$
5. $x=3$
6. $x=-2$
Cum $8=2^3$ , ecuația devine $2^{2x+1}=2^3$ . Funcția exponențială este injectivă, deci $2x+1=3$ și $x=1$ .
Determinantul matricei $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ este:
1. $3$
2. $6$
3. $1$
4. $5$
5. $4$
6. $0$
Pentru o matrice de ordinul doi, $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ deci $\det A=2\cdot2-1\cdot1=3$ .
Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\displaystyle\int_0^1|x-t|\,dt$ . Să se calculeze $I=\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x)\,dx$ .
1. $I=\dfrac{11}{2}$
2. $I=\dfrac{8}{5}$
3. $I=\dfrac{4}{3}$
4. $I=\dfrac{1}{2}$
5. $I=\dfrac{1}{5}$
6. $I=\dfrac{7}{3}$
Explicităm modulul după poziția lui $x$ față de $[0,1]$ : - dacă $x\le0$ , $|x-t|=t-x$ , deci $f(x)=\dfrac12-x$ ; - dacă $x\in(0,1)$ , $f(x)=\displaystyle\int_0^x(x-t)\,dt+\int_x^1(t-x)\,dt=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{(1-x)^2}{2}=x^2-x+\dfrac12$ - dacă $x\ge1$ , $|x-t|=x-t$ , deci $f(x)=x-\dfrac12$ .Spargem intervalul $[-1,2]=[-1,0]\cup[0,1]\cup[1,2]$ : $I=\int_{-1}^{0}\Big(\tfrac12-x\Big)dx+\int_0^1\Big(x^2-x+\tfrac12\Big)dx+\int_1^2\Big(x-\tfrac12\Big)dx=1+\frac13+1=\frac73.$

Fie sistemul $\begin{cases}mx+y-z=1\\ x+y-z=2\\ -x+y+z=0\end{cases}$ unde $m$ este un parametru real. Pentru câte valori $m\in\mathbb{Z}$ sistemul are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$ , cu componentele numere întregi?
1. $4$
2. $3$
3. $1$
4. $\text{o infinitate}$
5. $2$
6. $5$
Scăzând linia a doua din prima, $\Delta=\begin{vmatrix}m&1&-1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}m-1&0&0\\1&1&-1\\-1&1&1\end{vmatrix}=2(m-1)$ deci soluția este unică exact pentru $m\ne1$ .Cu regula lui Cramer: $x_0=-\dfrac{1}{m-1}$ , $y_0=1$ , $z_0=-\dfrac{m}{m-1}=x_0-1$ . Așadar toate componentele sunt întregi exact când $x_0\in\mathbb{Z}$ , adică $(m-1)\mid 1$ : $m-1\in\{-1,1\}$ , deci $m\in\{0,2\}$ — două valori.
Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^3+x^2$ . Să se calculeze $f'(1)$ .
1. $4$
2. $3$
3. $0$
4. $2$
5. $5$
6. $7$
Derivând termen cu termen, $f'(x)=3x^2+2x$ , deci $f'(1)=3+2=5$ .
Ecuația $2^{2x+1}=8$ are soluția:
1. $x=-1$
2. $x=2$
3. $x=1$
4. $x=0$
5. $x=3$
6. $x=-2$
Cum $8=2^3$ , ecuația devine $2^{2x+1}=2^3$ . Funcția exponențială este injectivă, deci $2x+1=3$ și $x=1$ .
Determinantul matricei $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ este:
1. $3$
2. $6$
3. $1$
4. $5$
5. $4$
6. $0$
Pentru o matrice de ordinul doi, $\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ deci $\det A=2\cdot2-1\cdot1=3$ .
Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\displaystyle\int_0^1|x-t|\,dt$ . Să se calculeze $I=\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x)\,dx$ .
1. $I=\dfrac{11}{2}$
2. $I=\dfrac{8}{5}$
3. $I=\dfrac{4}{3}$
4. $I=\dfrac{1}{2}$
5. $I=\dfrac{1}{5}$
6. $I=\dfrac{7}{3}$
Explicităm modulul după poziția lui $x$ față de $[0,1]$ : - dacă $x\le0$ , $|x-t|=t-x$ , deci $f(x)=\dfrac12-x$ ; - dacă $x\in(0,1)$ , $f(x)=\displaystyle\int_0^x(x-t)\,dt+\int_x^1(t-x)\,dt=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{(1-x)^2}{2}=x^2-x+\dfrac12$ - dacă $x\ge1$ , $|x-t|=x-t$ , deci $f(x)=x-\dfrac12$ .Spargem intervalul $[-1,2]=[-1,0]\cup[0,1]\cup[1,2]$ : $I=\int_{-1}^{0}\Big(\tfrac12-x\Big)dx+\int_0^1\Big(x^2-x+\tfrac12\Big)dx+\int_1^2\Big(x-\tfrac12\Big)dx=1+\frac13+1=\frac73.$

Matematică #085 Admitere Politehnica București 2022, Varianta 1 (iulie)