Suma soluțiilor ecuației sin(x-(π)/(6))cos(π)/(6)+sin(π)/(6)cos(x-(π)/(6))=(1)/(2), aflate în intervalul [0,π], este:

F) π. Membrul stâng este sin((x-(π)/(6))+(π)/(6))=sin x (formula sinusului sumei), deci ecuația devine sin x=(1)/(2). În [0,π] soluțiile sunt (π)/(6) și (5π)/(6), cu suma π.

Valoarea numărului P=sin 60°cdottg30°·cos 90° este

E) 0. cos 90°=0, deci produsul este P=(√(3))/(2)·(1)/(√(3))· 0=0.

Se consideră punctele A(m,3-m), B(2,2) și C(1,1). Mulțimea valorilor parametrului real m pentru care triunghiul ABC este dreptunghic în A, este:

F) {1,2}. Triunghiul este dreptunghic în A exact când ABcdotAC=0. Avem AB=(2-m)i+(m-1)j și AC=(1-m)i+(m-2)j. Produsul scalar este (2-m)(1-m)+(m-1)(m-2)=2(m-1)(m-2), nul pentru m∈{1,2}. Pentru ambele valori, A(1,2), respectiv A(2,1), nu se află pe dreapta BC (y=x), deci triunghiul există: mulțimea este {1,2}.

Valoarea parametrului m∈ℝ pentru care vectorii u=mi+j și v=-i+3j sunt ortogonali, este:

D) 3. Vectorii sunt ortogonali exact când produsul scalar este nul: ucdotv=m·(-1)+1·3=0, deci m=3.

Se consideră dreptele de ecuații d_1: mx+y=2 și d_2: x+2y=-2. Valoarea parametrului real m pentru care dreptele sunt paralele, este:

C) (1)/(2). Dreptele sunt paralele dacă (m)/(1)=(1)/(2)≠(2)/(-2). Din prima egalitate m=(1)/(2), iar (1)/(2)≠-1, deci dreptele nu coincid.

Grile Vectori în plan · Matematică admitere Politehnica 2022 #118

1/5

00:00

Suma soluțiilor ecuației

\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{\pi}{6}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}

, aflate în intervalul

[0,\pi]

, este:

Suma soluțiilor ecuației $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{\pi}{6}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ , aflate în intervalul $[0,\pi]$ , este:
1. $\dfrac{\pi}{6}$
2. $0$
3. $\dfrac{3\pi}{2}$
4. $\dfrac{\pi}{2}$
5. $\dfrac{5\pi}{6}$
6. $\pi$
Membrul stâng este $\sin\left(\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin x$ (formula sinusului sumei), deci ecuația devine $\sin x=\dfrac{1}{2}$ .În $[0,\pi]$ soluțiile sunt $\dfrac{\pi}{6}$ și $\dfrac{5\pi}{6}$ , cu suma $\pi$ .
Valoarea numărului $P=\sin 60^\circ\cdot\operatorname{tg}30^\circ\cdot\cos 90^\circ$ este
1. $1$
2. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
3. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
4. $\dfrac{1}{2}$
5. $0$
6. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
$\cos 90^\circ=0$ , deci produsul este $P=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot 0=0$ .
Se consideră punctele $A(m,3-m)$ , $B(2,2)$ și $C(1,1)$ . Mulțimea valorilor parametrului real $m$ pentru care triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ , este:
1. $\{2,-2\}$
2. $\varnothing$
3. $\{1,-1\}$
4. $\{1\}$
5. $\{2\}$
6. $\{1,2\}$
Triunghiul este dreptunghic în $A$ exact când $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ . Avem $\overrightarrow{AB}=(2-m)\vec{i}+(m-1)\vec{j}$ și $\overrightarrow{AC}=(1-m)\vec{i}+(m-2)\vec{j}$ .Produsul scalar este $(2-m)(1-m)+(m-1)(m-2)=2(m-1)(m-2)$ , nul pentru $m\in\{1,2\}$ . Pentru ambele valori, $A(1,2)$ , respectiv $A(2,1)$ , nu se află pe dreapta $BC$ ( $y=x$ ), deci triunghiul există: mulțimea este $\{1,2\}$ .
Valoarea parametrului $m\in\mathbb{R}$ pentru care vectorii $\vec{u}=m\vec{i}+\vec{j}$ și $\vec{v}=-\vec{i}+3\vec{j}$ sunt ortogonali, este:
1. $-3$
2. $1$
3. $-1$
4. $3$
5. $\dfrac{1}{3}$
6. $0$
Vectorii sunt ortogonali exact când produsul scalar este nul: $\vec{u}\cdot\vec{v}=m\cdot(-1)+1\cdot3=0$ , deci $m=3$ .
Se consideră dreptele de ecuații $d_1: mx+y=2$ și $d_2: x+2y=-2$ . Valoarea parametrului real $m$ pentru care dreptele sunt paralele, este:
1. $-1$
2. $2$
3. $\dfrac{1}{2}$
4. $-\dfrac{1}{2}$
5. $1$
6. $0$
Dreptele sunt paralele dacă $\dfrac{m}{1}=\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{2}{-2}$ . Din prima egalitate $m=\dfrac{1}{2}$ , iar $\dfrac{1}{2}\ne-1$ , deci dreptele nu coincid.

Suma soluțiilor ecuației $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{\pi}{6}\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ , aflate în intervalul $[0,\pi]$ , este:
1. $\dfrac{\pi}{6}$
2. $0$
3. $\dfrac{3\pi}{2}$
4. $\dfrac{\pi}{2}$
5. $\dfrac{5\pi}{6}$
6. $\pi$
Membrul stâng este $\sin\left(\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin x$ (formula sinusului sumei), deci ecuația devine $\sin x=\dfrac{1}{2}$ .În $[0,\pi]$ soluțiile sunt $\dfrac{\pi}{6}$ și $\dfrac{5\pi}{6}$ , cu suma $\pi$ .
Valoarea numărului $P=\sin 60^\circ\cdot\operatorname{tg}30^\circ\cdot\cos 90^\circ$ este
1. $1$
2. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
3. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
4. $\dfrac{1}{2}$
5. $0$
6. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
$\cos 90^\circ=0$ , deci produsul este $P=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot 0=0$ .
Se consideră punctele $A(m,3-m)$ , $B(2,2)$ și $C(1,1)$ . Mulțimea valorilor parametrului real $m$ pentru care triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ , este:
1. $\{2,-2\}$
2. $\varnothing$
3. $\{1,-1\}$
4. $\{1\}$
5. $\{2\}$
6. $\{1,2\}$
Triunghiul este dreptunghic în $A$ exact când $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ . Avem $\overrightarrow{AB}=(2-m)\vec{i}+(m-1)\vec{j}$ și $\overrightarrow{AC}=(1-m)\vec{i}+(m-2)\vec{j}$ .Produsul scalar este $(2-m)(1-m)+(m-1)(m-2)=2(m-1)(m-2)$ , nul pentru $m\in\{1,2\}$ . Pentru ambele valori, $A(1,2)$ , respectiv $A(2,1)$ , nu se află pe dreapta $BC$ ( $y=x$ ), deci triunghiul există: mulțimea este $\{1,2\}$ .
Valoarea parametrului $m\in\mathbb{R}$ pentru care vectorii $\vec{u}=m\vec{i}+\vec{j}$ și $\vec{v}=-\vec{i}+3\vec{j}$ sunt ortogonali, este:
1. $-3$
2. $1$
3. $-1$
4. $3$
5. $\dfrac{1}{3}$
6. $0$
Vectorii sunt ortogonali exact când produsul scalar este nul: $\vec{u}\cdot\vec{v}=m\cdot(-1)+1\cdot3=0$ , deci $m=3$ .
Se consideră dreptele de ecuații $d_1: mx+y=2$ și $d_2: x+2y=-2$ . Valoarea parametrului real $m$ pentru care dreptele sunt paralele, este:
1. $-1$
2. $2$
3. $\dfrac{1}{2}$
4. $-\dfrac{1}{2}$
5. $1$
6. $0$
Dreptele sunt paralele dacă $\dfrac{m}{1}=\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{2}{-2}$ . Din prima egalitate $m=\dfrac{1}{2}$ , iar $\dfrac{1}{2}\ne-1$ , deci dreptele nu coincid.

Matematică #118 Admitere Politehnica București 2022 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta 2 (iulie)