[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2022-geometrie-si-trigonometrie-varianta-1-iulie

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2022-geometrie-si-trigonometrie-varianta-1-iulie
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2022 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta 1 (iulie) · Matematică #117

10 grile din Vectori în plan, Cercul trigonometric, Patrulatere, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2022 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta 1 (iulie). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2022 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta 1 (iulie))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Un pătrat și un romb au același perimetru. Dacă aria pătratului este $16$, iar unul dintre unghiurile rombului are $30^\circ$, atunci suma pătratelor diagonalelor rombului este:

a) $10$
b) $32$
c) $16$
d) $40$
e) $36$
f) $64$

Răspuns corect: f) $64$

Pătratul are latura $4$, deci perimetrul $16$; rombul are același perimetru, deci latura $\ell=4$.

Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci $\left(\dfrac{d_1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2=\ell^2$, adică $d_1^2+d_2^2=4\ell^2=64$. Unghiul de $30^\circ$ nu influențează rezultatul.

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, Concurs unificat (ETTI, AC, FILS), Geometrie și Trigonometrie, Varianta 1 (iulie), itemul 1 · cheie din baremul oficial

2. Valoarea numărului $P=\sin 60^\circ\cdot\operatorname{tg}30^\circ\cdot\cos 90^\circ$ este

a) $1$
b) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
c) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d) $\dfrac{1}{2}$
e) $0$
f) $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

Răspuns corect: e) $0$

$\cos 90^\circ=0$, deci produsul este $P=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot 0=0$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, Concurs unificat (ETTI, AC, FILS), Geometrie și Trigonometrie, Varianta 1 (iulie), itemul 2 · cheie din baremul oficial

3. În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=2$, $BC=\sqrt{7}$ și $m(\hat{A})=\dfrac{\pi}{3}$. Lungimea laturii $AC$ este:

a) $\sqrt{7}$
b) $4$
c) $2$
d) $7$
e) $\sqrt{3}$
f) $3$

Răspuns corect: f) $3$

Cu teorema cosinusului în vârful $A$, notând $AC=x$: $BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A$, deci $7=4+x^2-2\cdot2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}$.

Rezultă $x^2-2x-3=0$, cu rădăcinile $3$ și $-1$; lungimea este pozitivă, deci $AC=3$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, Concurs unificat (ETTI, AC, FILS), Geometrie și Trigonometrie, Varianta 1 (iulie), itemul 3 · cheie din baremul oficial

4. Într-un triunghi $ABC$ în care $AB=6$ are loc relația $2(\cos A+\cos B)=3+2\cos(A+B)$. Atunci aria triunghiului este:

a) $6\sqrt{3}$
b) $18$
c) $9\sqrt{3}$
d) $3\sqrt{3}$
e) $12$
f) $36$

Răspuns corect: c) $9\sqrt{3}$

Notăm $u=\cos\dfrac{A+B}{2}$ și $v=\cos\dfrac{A-B}{2}$. Atunci $\cos A+\cos B=2uv$ și $\cos(A+B)=2u^2-1$, iar relația devine $4uv=1+4u^2$, adică $(2u-v)^2+(1-v^2)=0$.

Ambii termeni sunt nenegativi, deci $v=1$ și $u=\dfrac{1}{2}$: $A=B$ și $A+B=120^\circ$, adică triunghiul este echilateral. Cu latura $6$, aria este $\dfrac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, Concurs unificat (ETTI, AC, FILS), Geometrie și Trigonometrie, Varianta 1 (iulie), itemul 4 · cheie din baremul oficial

5. Fie $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$. Dacă $\sin x=\dfrac{3}{5}$, atunci $\cos x$ este:

a) $1$
b) $\dfrac{3}{5}$
c) $\dfrac{4}{5}$
d) $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$
e) $-\dfrac{3}{5}$
f) $0$

Răspuns corect: c) $\dfrac{4}{5}$

Pe intervalul $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ cosinusul este pozitiv, deci $\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{4}{5}$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2022, Concurs unificat (ETTI, AC, FILS), Geometrie și Trigonometrie, Varianta 1 (iulie), itemul 5 · cheie din baremul oficial