Matematică #117 Admitere Politehnica București 2022 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta 1 (iulie)
1/5
00:00
Un pătrat și un romb au același perimetru. Dacă aria pătratului este 16, iar unul dintre unghiurile rombului are 30∘, atunci suma pătratelor diagonalelor rombului este:
Un pătrat și un romb au același perimetru. Dacă aria pătratului este 16, iar unul dintre unghiurile rombului are 30∘, atunci suma pătratelor diagonalelor rombului este:
10
32
16
40
36
64
Pătratul are latura 4, deci perimetrul 16; rombul are același perimetru, deci latura ℓ=4.Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci (2d1)2+(2d2)2=ℓ2, adică d12+d22=4ℓ2=64. Unghiul de 30∘ nu influențează rezultatul.
Valoarea numărului P=sin60∘⋅tg30∘⋅cos90∘ este
1
22
23
21
0
43
cos90∘=0, deci produsul este P=23⋅31⋅0=0.
În triunghiul ABC se cunosc AB=2, BC=7 și m(A^)=3π. Lungimea laturii AC este:
7
4
2
7
3
3
Cu teorema cosinusului în vârful A, notând AC=x: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅ACcosA, deci 7=4+x2−2⋅2⋅x⋅21.Rezultă x2−2x−3=0, cu rădăcinile 3 și −1; lungimea este pozitivă, deci AC=3.
Într-un triunghi ABC în care AB=6 are loc relația 2(cosA+cosB)=3+2cos(A+B). Atunci aria triunghiului este:
63
18
93
33
12
36
Notăm u=cos2A+B și v=cos2A−B. Atunci cosA+cosB=2uv și cos(A+B)=2u2−1, iar relația devine 4uv=1+4u2, adică (2u−v)2+(1−v2)=0.Ambii termeni sunt nenegativi, deci v=1 și u=21: A=B și A+B=120∘, adică triunghiul este echilateral. Cu latura 6, aria este 4623=93.
Fie x∈(0,2π). Dacă sinx=53, atunci cosx este:
1
53
54
53
−53
0
Pe intervalul (0,2π) cosinusul este pozitiv, deci cosx=1−sin2x=1−259=54.