Fie funcția f:[1,∞)→ℝ, f(x)=∫_1^x t(1-ln^2 t)dt. Aflați abscisa punctului de maxim local.

A) e. Integrandul este continuu, deci f'(x)=x(1-ln^2x). Pe [1,∞) avem x>0 și ln x≥0, deci f'(x)=0 doar pentru ln x=1, adică x=e. Pentru 1 0; pentru x>e, f'<0. Funcția crește, apoi descrește, deci x=e este punct de maxim local.

Să se determine numărul real m astfel încât m 6; 1 2 =0.

B) m=3. m 6; 1 2 =2m-6=0, deci m=3.

Să se determine numărul natural n astfel încât 4, (n+8)/(2) și 8 să fie trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

A) n=4. Termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor: (n+8)/(2)=(4+8)/(2)=6, deci n+8=12 și n=4.

Fie funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=e^x+x^2. Atunci f'(0) este:

B) 1. f'(x)=e^x+2x, deci f'(0)=e^0+0=1.

Să se rezolve în ℝ inecuația 3x-1>x+3.

C) x>2. 3x-1>x+3⇔ 2x>4⇔ x>2.

Grile Aplicații ale derivatelor · Matematică Politehnica 2021

1/5

00:00

Fie funcția

f:[1,\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=\displaystyle\int_1^x t\left(1-\ln^2 t\right)dt

. Aflați abscisa punctului de maxim local.

Matematică #119 Admitere Politehnica București 2021 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie)