[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2019-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie-124

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2019-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie-124
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2019 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie) · Matematică #124

10 grile din Logaritmi, Legi de compoziție, Sisteme de ecuații, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2019 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2019 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Să se rezolve ecuația $\log_5(x-1)=1$.

a) $x=11$
b) $x=0$
c) $x=4$
d) $x=1$
e) $x=6$
f) $x=3$

Răspuns corect: e) $x=6$

Condiția este $x>1$. Din definiția logaritmului, $x-1=5^1=5$, deci $x=6$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2019, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 11 · cheie din baremul oficial

2. Pe mulțimea $A=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ se definește legea de compoziție $x*y=2xy-2(x+y)+c$, unde $c$ este un număr real. Știind că legea de compoziție „$*$” definește pe $A$ o structură de grup comutativ, să se determine simetricul elementului $x=4$.

a) $\dfrac{15}{13}$
b) $\dfrac{11}{6}$
c) $\dfrac{12}{11}$
d) $\dfrac{12}{5}$
e) $\dfrac{13}{12}$
f) $\dfrac{11}{7}$

Răspuns corect: e) $\dfrac{13}{12}$

Legea se scrie $x*y=2(x-1)(y-1)+c-2$. Pentru ca $A$ să fie parte stabilă trebuie ca $x*y\neq1$ oricare ar fi $x,y\neq1$, ceea ce impune $c=3$; atunci $x*y-1=2(x-1)(y-1)$.

Elementul neutru $e$ verifică $2(x-1)(e-1)=x-1$, deci $e=\dfrac{3}{2}$. Simetricul $x'$ al lui $4$ verifică $2\cdot3\cdot(x'-1)=\dfrac{1}{2}$, deci $x'=1+\dfrac{1}{12}=\dfrac{13}{12}$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2019, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 12 · cheie din baremul oficial

3. Să se rezolve sistemul de ecuații $\begin{cases}x+y=4\\2x-y=-1\end{cases}$.

a) $x=2,\ y=2$
b) $x=-1,\ y=5$
c) $x=-2,\ y=-3$
d) $x=4,\ y=0$
e) $x=1,\ y=3$
f) $x=0,\ y=4$

Răspuns corect: e) $x=1,\ y=3$

Adunând ecuațiile: $3x=3$, deci $x=1$, iar din prima ecuație $y=4-1=3$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2019, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 13 · cheie din baremul oficial

4. Fie polinomul $f=X^2+2X+3$. Să se calculeze $S=f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)$, unde $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt soluțiile complexe ale ecuației $x^3-1=0$.

a) $S=i$
b) $S=0$
c) $S=-1$
d) $S=9$
e) $S=6$
f) $S=1$

Răspuns corect: d) $S=9$

Din relațiile lui Viète pentru $x^3-1=0$: $x_1+x_2+x_3=0$ și $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=0$, deci $x_1^2+x_2^2+x_3^2=0^2-2\cdot0=0$.

Atunci $S=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+2(x_1+x_2+x_3)+3\cdot3=0+0+9=9$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2019, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 14 · cheie din baremul oficial

5. Dacă $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x-e^x$, să se calculeze $f'(0)$.

a) $-1$
b) $3$
c) $1$
d) $0$
e) $2$
f) $-2$

Răspuns corect: d) $0$

$f'(x)=1-e^x$, deci $f'(0)=1-e^0=0$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2019, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 15 · cheie din baremul oficial