[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2019-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie-123

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2019-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie-123
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2019 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie) · Matematică #123

10 grile din Determinanți, Polinoame, Aplicații ale derivatelor, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2019 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2019 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Să se determine mulțimea valorilor lui $a\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $\ln(1+2x)-x^2=a$ să aibă o singură soluție strict negativă.

a) $a\in(-e,e)$
b) $a\in(0,\ln 2)$
c) $a\in(-1,\ln 2)$
d) $a\in(-\infty,0)$
e) $a\in\left(0,\ln 2-\dfrac{1}{4}\right)$
f) $a\in\left(\dfrac{1}{2},\ln 3\right)$

Răspuns corect: d) $a\in(-\infty,0)$

Fie $g(x)=\ln(1+2x)-x^2$, definită pentru $x>-\dfrac{1}{2}$. Derivata este $g'(x)=\dfrac{2}{1+2x}-2x=\dfrac{2-2x-4x^2}{1+2x}=\dfrac{-2(2x-1)(x+1)}{1+2x}$, pozitivă pe $\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$.

Pe $\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$ funcția este strict crescătoare, cu $\lim_{x\to-1/2}g(x)=-\infty$ și $g(0)=0$, deci ia fiecare valoare din $(-\infty,0)$ exact o dată. Ecuația are o singură soluție negativă exact pentru $a\in(-\infty,0)$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2019, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 1 · cheie din baremul oficial

2. Valoarea determinantului $\begin{vmatrix}2&0&1\\1&-1&0\\1&1&1\end{vmatrix}$ este:

a) $-1$
b) $0$
c) $5$
d) $1$
e) $-2$
f) $2$

Răspuns corect: b) $0$

Dezvoltând după prima linie: $2\cdot\begin{vmatrix}-1&0\\1&1\end{vmatrix}-0+1\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)+1\cdot2=0$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2019, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 2 · cheie din baremul oficial

3. Pentru $r>0$, fie mulțimea $M=\{z\in\mathbb{C}\ ;\ |z|=1\text{ și }|z-3i|=r\}$. Fie $A=\{r>0\ ;\ M\text{ are un singur element}\}$. Să se determine suma $S$ a elementelor mulțimii $A$.

a) $S=6$
b) $S=5$
c) $S=4$
d) $S=2$
e) $S=8$
f) $S=12$

Răspuns corect: a) $S=6$

$M$ este intersecția cercului de centru $0$ și rază $1$ cu cercul de centru $3i$ și rază $r$. Distanța dintre centre este $3$.

Cercurile au un singur punct comun exact când sunt tangente: exterior, $r+1=3$, deci $r=2$, sau interior, $r-1=3$, deci $r=4$. Așadar $A=\{2,4\}$ și $S=6$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2019, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 3 · cheie din baremul oficial

4. Știind că numerele $x$, $x+1$, $x+3$ sunt în progresie geometrică (în această ordine), atunci:

a) $x=3$
b) $x=-1$
c) $x=1$
d) $x=-2$
e) $x=4$
f) $x=2$

Răspuns corect: c) $x=1$

Termenul din mijloc verifică $(x+1)^2=x(x+3)$, adică $x^2+2x+1=x^2+3x$, deci $x=1$. Se obțin numerele $1, 2, 4$, cu rația $2$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2019, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 4 · cheie din baremul oficial

5. Fie matricele $A=\begin{pmatrix}1&0\\2&-2\end{pmatrix}$ și $B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$. Dacă $X=A+2B$, să se calculeze determinantul matricei $X$.

a) $-10$
b) $14$
c) $-14$
d) $10$
e) $20$
f) $-20$

Răspuns corect: f) $-20$

$X=\begin{pmatrix}1&0\\2&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&2\\2&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\4&-4\end{pmatrix}$, deci $\det X=3\cdot(-4)-2\cdot4=-20$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2019, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 5 · cheie din baremul oficial