Să se determine mulțimea valorilor lui a∈ℝ astfel încât ecuația ln(1+2x)-x^2=a să aibă o singură soluție strict negativă.

D) a∈(-∞,0). Fie g(x)=ln(1+2x)-x^2, definită pentru x>-(1)/(2). Derivata este g'(x)=(2)/(1+2x)-2x=(2-2x-4x^2)/(1+2x)=(-2(2x-1)(x+1))/(1+2x), pozitivă pe (-(1)/(2),(1)/(2)). Pe (-(1)/(2),0) funcția este strict crescătoare, cu lim_x→-1/2g(x)=-∞ și g(0)=0, deci ia fiecare valoare din (-∞,0) exact o dată. Ecuația are o singură soluție negativă exact pentru a∈(-∞,0).

Valoarea determinantului 2 0 1; 1 -1 0; 1 1 1 este:

B) 0. Dezvoltând după prima linie: 2· -1 0; 1 1 -0+1· 1 -1; 1 1 =2·(-1)+1·2=0.

Pentru r>0, fie mulțimea M={z∈ℂ; |z|=1 și |z-3i|=r}. Fie A={r>0; M are un singur element}. Să se determine suma S a elementelor mulțimii A.

A) S=6. M este intersecția cercului de centru 0 și rază 1 cu cercul de centru 3i și rază r. Distanța dintre centre este 3. Cercurile au un singur punct comun exact când sunt tangente: exterior, r+1=3, deci r=2, sau interior, r-1=3, deci r=4. Așadar A={2,4} și S=6.

Știind că numerele x, x+1, x+3 sunt în progresie geometrică (în această ordine), atunci:

C) x=1. Termenul din mijloc verifică (x+1)^2=x(x+3), adică x^2+2x+1=x^2+3x, deci x=1. Se obțin numerele 1, 2, 4, cu rația 2.

Fie matricele A= 1 0; 2 -2 și B= 1 1; 1 -1. Dacă X=A+2B, să se calculeze determinantul matricei X.

F) -20. X= 1 0; 2 -2 + 2 2; 2 -2 = 3 2; 4 -4, deci det X=3·(-4)-2·4=-20.

Grile Determinanți · Matematică admitere Politehnica 2019

1/5

00:00

Să se determine mulțimea valorilor lui

a\in\mathbb{R}

astfel încât ecuația

\ln(1+2x)-x^2=a

să aibă o singură soluție strict negativă.

Să se determine mulțimea valorilor lui $a\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $\ln(1+2x)-x^2=a$ să aibă o singură soluție strict negativă.
1. $a\in(-e,e)$
2. $a\in(0,\ln 2)$
3. $a\in(-1,\ln 2)$
4. $a\in(-\infty,0)$
5. $a\in\left(0,\ln 2-\dfrac{1}{4}\right)$
6. $a\in\left(\dfrac{1}{2},\ln 3\right)$
Fie $g(x)=\ln(1+2x)-x^2$ , definită pentru $x>-\dfrac{1}{2}$ . Derivata este $g'(x)=\dfrac{2}{1+2x}-2x=\dfrac{2-2x-4x^2}{1+2x}=\dfrac{-2(2x-1)(x+1)}{1+2x}$ , pozitivă pe $\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ .Pe $\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$ funcția este strict crescătoare, cu $\lim_{x\to-1/2}g(x)=-\infty$ și $g(0)=0$ , deci ia fiecare valoare din $(-\infty,0)$ exact o dată. Ecuația are o singură soluție negativă exact pentru $a\in(-\infty,0)$ .
Valoarea determinantului $\begin{vmatrix}2&0&1\\1&-1&0\\1&1&1\end{vmatrix}$ este:
1. $-1$
2. $0$
3. $5$
4. $1$
5. $-2$
6. $2$
Dezvoltând după prima linie: $2\cdot\begin{vmatrix}-1&0\\1&1\end{vmatrix}-0+1\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)+1\cdot2=0$
Pentru $r>0$ , fie mulțimea $M=\{z\in\mathbb{C}\ ;\ |z|=1\text{ și }|z-3i|=r\}$ . Fie $A=\{r>0\ ;\ M\text{ are un singur element}\}$ . Să se determine suma $S$ a elementelor mulțimii $A$ .
1. $S=6$
2. $S=5$
3. $S=4$
4. $S=2$
5. $S=8$
6. $S=12$
$M$ este intersecția cercului de centru $0$ și rază $1$ cu cercul de centru $3i$ și rază $r$ . Distanța dintre centre este $3$ .Cercurile au un singur punct comun exact când sunt tangente: exterior, $r+1=3$ , deci $r=2$ , sau interior, $r-1=3$ , deci $r=4$ . Așadar $A=\{2,4\}$ și $S=6$ .
Știind că numerele $x$ , $x+1$ , $x+3$ sunt în progresie geometrică (în această ordine), atunci:
1. $x=3$
2. $x=-1$
3. $x=1$
4. $x=-2$
5. $x=4$
6. $x=2$
Termenul din mijloc verifică $(x+1)^2=x(x+3)$ , adică $x^2+2x+1=x^2+3x$ , deci $x=1$ . Se obțin numerele $1, 2, 4$ , cu rația $2$ .
Fie matricele $A=\begin{pmatrix}1&0\\2&-2\end{pmatrix}$ și $B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ Dacă $X=A+2B$ , să se calculeze determinantul matricei $X$ .
1. $-10$
2. $14$
3. $-14$
4. $10$
5. $20$
6. $-20$
$X=\begin{pmatrix}1&0\\2&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&2\\2&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\4&-4\end{pmatrix}$ deci $\det X=3\cdot(-4)-2\cdot4=-20$ .

Să se determine mulțimea valorilor lui $a\in\mathbb{R}$ astfel încât ecuația $\ln(1+2x)-x^2=a$ să aibă o singură soluție strict negativă.
1. $a\in(-e,e)$
2. $a\in(0,\ln 2)$
3. $a\in(-1,\ln 2)$
4. $a\in(-\infty,0)$
5. $a\in\left(0,\ln 2-\dfrac{1}{4}\right)$
6. $a\in\left(\dfrac{1}{2},\ln 3\right)$
Fie $g(x)=\ln(1+2x)-x^2$ , definită pentru $x>-\dfrac{1}{2}$ . Derivata este $g'(x)=\dfrac{2}{1+2x}-2x=\dfrac{2-2x-4x^2}{1+2x}=\dfrac{-2(2x-1)(x+1)}{1+2x}$ , pozitivă pe $\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$ .Pe $\left(-\dfrac{1}{2},0\right)$ funcția este strict crescătoare, cu $\lim_{x\to-1/2}g(x)=-\infty$ și $g(0)=0$ , deci ia fiecare valoare din $(-\infty,0)$ exact o dată. Ecuația are o singură soluție negativă exact pentru $a\in(-\infty,0)$ .
Valoarea determinantului $\begin{vmatrix}2&0&1\\1&-1&0\\1&1&1\end{vmatrix}$ este:
1. $-1$
2. $0$
3. $5$
4. $1$
5. $-2$
6. $2$
Dezvoltând după prima linie: $2\cdot\begin{vmatrix}-1&0\\1&1\end{vmatrix}-0+1\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)+1\cdot2=0$
Pentru $r>0$ , fie mulțimea $M=\{z\in\mathbb{C}\ ;\ |z|=1\text{ și }|z-3i|=r\}$ . Fie $A=\{r>0\ ;\ M\text{ are un singur element}\}$ . Să se determine suma $S$ a elementelor mulțimii $A$ .
1. $S=6$
2. $S=5$
3. $S=4$
4. $S=2$
5. $S=8$
6. $S=12$
$M$ este intersecția cercului de centru $0$ și rază $1$ cu cercul de centru $3i$ și rază $r$ . Distanța dintre centre este $3$ .Cercurile au un singur punct comun exact când sunt tangente: exterior, $r+1=3$ , deci $r=2$ , sau interior, $r-1=3$ , deci $r=4$ . Așadar $A=\{2,4\}$ și $S=6$ .
Știind că numerele $x$ , $x+1$ , $x+3$ sunt în progresie geometrică (în această ordine), atunci:
1. $x=3$
2. $x=-1$
3. $x=1$
4. $x=-2$
5. $x=4$
6. $x=2$
Termenul din mijloc verifică $(x+1)^2=x(x+3)$ , adică $x^2+2x+1=x^2+3x$ , deci $x=1$ . Se obțin numerele $1, 2, 4$ , cu rația $2$ .
Fie matricele $A=\begin{pmatrix}1&0\\2&-2\end{pmatrix}$ și $B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ Dacă $X=A+2B$ , să se calculeze determinantul matricei $X$ .
1. $-10$
2. $14$
3. $-14$
4. $10$
5. $20$
6. $-20$
$X=\begin{pmatrix}1&0\\2&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&2\\2&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\4&-4\end{pmatrix}$ deci $\det X=3\cdot(-4)-2\cdot4=-20$ .

Matematică #123 Admitere Politehnica București 2019 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie)