[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2018-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie-131

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2018-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie-131
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2018 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie) · Matematică #131

10 grile din Aplicații ale derivatelor, Polinoame, Sisteme de ecuații, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2018 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2018 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Suma soluțiilor reale ale ecuației $x^3-3x^2-5x=0$ este:

a) $8$
b) $-5$
c) $6$
d) $3$
e) $5$
f) $7$

Răspuns corect: d) $3$

$x^3-3x^2-5x=x(x^2-3x-5)$. Ecuația $x^2-3x-5=0$ are $\Delta=9+20=29>0$, deci două soluții reale cu suma $3$.

Împreună cu $x=0$, suma tuturor soluțiilor reale este $3$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2018, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 11 · cheie din baremul oficial

2. Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x(1-x)^2}$. Să se determine suma absciselor punctelor de extrem local.

a) $\dfrac{2}{5}$
b) $\dfrac{1}{4}$
c) $\dfrac{4}{3}$
d) $\dfrac{5}{2}$
e) $\dfrac{3}{4}$
f) $\dfrac{1}{6}$

Răspuns corect: c) $\dfrac{4}{3}$

Rădăcina cubică este strict crescătoare, deci $f$ are aceleași puncte de extrem ca $g(x)=x(1-x)^2$. Avem $g'(x)=(1-x)(1-3x)$: $g$ crește pe $\left(-\infty,\dfrac{1}{3}\right]$, scade pe $\left[\dfrac{1}{3},1\right]$ și crește pe $[1,\infty)$.

Așadar $x=\dfrac{1}{3}$ este punct de maxim local, iar $x=1$ punct de minim local ($f(1)=0\leq f(x)$ în jurul lui $1$; acolo $f$ nu este derivabilă, dar extremul există). În $x=0$, $f$ își schimbă semnul, deci nu este extrem.

Suma absciselor este $\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2018, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 12 · cheie din baremul oficial

3. Să se rezolve sistemul de ecuații $\begin{cases}x-y=2\\x-3y=0\end{cases}$ în mulțimea numerelor reale.

a) $x=2,\ y=1$
b) $x=1,\ y=3$
c) $x=-3,\ y=5$
d) $x=3,\ y=1$
e) $x=y=2$
f) $x=1,\ y=2$

Răspuns corect: d) $x=3,\ y=1$

Scăzând a doua ecuație din prima: $2y=2$, deci $y=1$, iar $x=y+2=3$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2018, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 13 · cheie din baremul oficial

4. Fie funcția $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{x\ln x}{(1+x^2)^2}$. Dacă $F$ este o primitivă a funcției $f$ astfel încât $F(1)=0$, să se calculeze $\displaystyle\lim_{x\to\infty}F(x)$.

a) $\dfrac{1}{4}\ln2$
b) $\dfrac{1}{2}\ln2$
c) $\dfrac{1}{4}\ln5$
d) $\dfrac{1}{3}\ln3$
e) $\dfrac{1}{5}\ln2$
f) $\dfrac{1}{3}\ln7$

Răspuns corect: a) $\dfrac{1}{4}\ln2$

Integrăm prin părți cu $u=\ln x$ și $v'=\dfrac{x}{(1+x^2)^2}$, deci $v=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}$:

$\displaystyle\int f(x)\,dx=-\dfrac{\ln x}{2(1+x^2)}+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{x(1+x^2)}$, iar $\dfrac{1}{x(1+x^2)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{1+x^2}$.

Rezultă $F(x)=-\dfrac{\ln x}{2(1+x^2)}+\dfrac{1}{4}\ln\dfrac{x^2}{1+x^2}+C$. Din $F(1)=0$: $-\dfrac{1}{4}\ln2+C=0$, deci $C=\dfrac{1}{4}\ln2$.

Când $x\to\infty$, primii doi termeni tind la $0$, deci $\displaystyle\lim_{x\to\infty}F(x)=\dfrac{1}{4}\ln2$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2018, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 14 · cheie din baremul oficial

5. Fie funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x+e^x$. Să se calculeze $f'(0)$.

a) $0$
b) $3$
c) $-5$
d) $4$
e) $2$
f) $-2$

Răspuns corect: e) $2$

$f'(x)=1+e^x$, deci $f'(0)=1+e^0=2$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2018, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 15 · cheie din baremul oficial