Matematică #131 Admitere Politehnica București 2018 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie)
1/5
00:00
Suma soluțiilor reale ale ecuației x3−3x2−5x=0 este:
Suma soluțiilor reale ale ecuației x3−3x2−5x=0 este:
8
−5
6
3
5
7
x3−3x2−5x=x(x2−3x−5). Ecuația x2−3x−5=0 are Δ=9+20=29>0, deci două soluții reale cu suma 3.Împreună cu x=0, suma tuturor soluțiilor reale este 3.
Fie funcția f:R→R, f(x)=3x(1−x)2. Să se determine suma absciselor punctelor de extrem local.
52
41
34
25
43
61
Rădăcina cubică este strict crescătoare, deci f are aceleași puncte de extrem ca g(x)=x(1−x)2. Avem g′(x)=(1−x)(1−3x): g crește pe (−∞,31], scade pe [31,1] și crește pe [1,∞).Așadar x=31 este punct de maxim local, iar x=1 punct de minim local (f(1)=0≤f(x) în jurul lui 1; acolo f nu este derivabilă, dar extremul există). În x=0, f își schimbă semnul, deci nu este extrem.Suma absciselor este 31+1=34.
Să se rezolve sistemul de ecuații {x−y=2x−3y=0 în mulțimea numerelor reale.
x=2,y=1
x=1,y=3
x=−3,y=5
x=3,y=1
x=y=2
x=1,y=2
Scăzând a doua ecuație din prima: 2y=2, deci y=1, iar x=y+2=3.
Fie funcția f:(0,∞)→R, f(x)=(1+x2)2xlnx. Dacă F este o primitivă a funcției f astfel încât F(1)=0, să se calculeze x→∞limF(x).
41ln2
21ln2
41ln5
31ln3
51ln2
31ln7
Integrăm prin părți cu u=lnx și v′=(1+x2)2x, deci v=−2(1+x2)1:∫f(x)dx=−2(1+x2)lnx+21∫x(1+x2)dxiar x(1+x2)1=x1−1+x2x.Rezultă F(x)=−2(1+x2)lnx+41ln1+x2x2+C. Din F(1)=0: −41ln2+C=0, deci C=41ln2.Când x→∞, primii doi termeni tind la 0, deci x→∞limF(x)=41ln2
Fie funcția f:R→R, f(x)=x+ex. Să se calculeze f′(0).