Fie vectorii u și v, unde |u|=1, |v|=2 și (u,v)=(π)/(3). Atunci produsul scalar (2u+v)·(2v-u) este:

A) 9. ucdotv=|u|·|v|·cos(π)/(3)=1·2·(1)/(2)=1. Desfăcând produsul: (2u+v)·(2v-u)=4 ucdotv-2|u|^2+2|v|^2-vcdotu=3 ucdotv-2+8=3-2+8=9.

Dacă sin((π)/(6)-B)=0, atunci sin(2B-(π)/(4)) este egal cu:

F) (√(6)-√(2))/(4). Din sin((π)/(6)-B)=0 rezultă B=(π)/(6)+kπ, deci 2B-(π)/(4)=(π)/(3)-(π)/(4)+2kπ=(π)/(12)+2kπ. sin(π)/(12)=sin((π)/(3)-(π)/(4))=(√(3))/(2)·(√(2))/(2)-(1)/(2)·(√(2))/(2)=(√(6)-√(2))/(4).

În triunghiul ABC se dau A=30°, AB=3 și AC=4. Atunci aria triunghiului ABC este:

C) 3. Aria este (AB· AC·sin A)/(2)=(3·4·(1)/(2))/(2)=3.

Valoarea expresiei sin(π)/(2)+tg(π)/(4) este:

E) 2. sin(π)/(2)=1 și tg(π)/(4)=1, deci expresia este 1+1=2.

Aflați valoarea lui m∈ℝ pentru care punctul A(1,m) aparține dreptei de ecuație 2x+y=1.

A) -1. Coordonatele lui A verifică ecuația dreptei: 2·1+m=1, deci m=-1.

Grile Vectori în plan · Matematică admitere Politehnica 2017 #140

1/5

00:00

Fie vectorii

\bar{u}

și

\bar{v}

, unde

|\bar{u}|=1

,

|\bar{v}|=2

și

\widehat{(\bar{u},\bar{v})}=\dfrac{\pi}{3}

. Atunci produsul scalar

(2\bar{u}+\bar{v})\cdot(2\bar{v}-\bar{u})

este:

Fie vectorii $\bar{u}$ și $\bar{v}$ , unde $|\bar{u}|=1$ , $|\bar{v}|=2$ și $\widehat{(\bar{u},\bar{v})}=\dfrac{\pi}{3}$ . Atunci produsul scalar $(2\bar{u}+\bar{v})\cdot(2\bar{v}-\bar{u})$ este:
1. $9$
2. $7$
3. $8$
4. $11$
5. $10$
6. $6$
$\bar{u}\cdot\bar{v}=|\bar{u}|\cdot|\bar{v}|\cdot\cos\dfrac{\pi}{3}=1\cdot2\cdot\dfrac{1}{2}=1$ .Desfăcând produsul: $(2\bar{u}+\bar{v})\cdot(2\bar{v}-\bar{u})=4\,\bar{u}\cdot\bar{v}-2|\bar{u}|^2+2|\bar{v}|^2-\bar{v}\cdot\bar{u}=3\,\bar{u}\cdot\bar{v}-2+8=3-2+8=9$ .
Dacă $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\hat{B}\right)=0$ , atunci $\sin\left(2\hat{B}-\dfrac{\pi}{4}\right)$ este egal cu:
1. $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
2. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
3. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{4}$
4. $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{4}$
5. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
6. $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
Din $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\hat{B}\right)=0$ rezultă $\hat{B}=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ , deci $2\hat{B}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi=\dfrac{\pi}{12}+2k\pi$ . $\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ .
În triunghiul $ABC$ se dau $\hat{A}=30^\circ$ , $AB=3$ și $AC=4$ . Atunci aria triunghiului $ABC$ este:
1. $2$
2. $12$
3. $3$
4. $6$
5. $9$
6. $1$
Aria este $\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}=\dfrac{3\cdot4\cdot\frac{1}{2}}{2}=3$ .
Valoarea expresiei $\sin\dfrac{\pi}{2}+\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}$ este:
1. $\dfrac{1}{2}$
2. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
3. $1$
4. $-1$
5. $2$
6. $0$
$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ și $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1$ , deci expresia este $1+1=2$ .
Aflați valoarea lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care punctul $A(1,m)$ aparține dreptei de ecuație $2x+y=1$ .
1. $-1$
2. $2$
3. $3$
4. $1$
5. $0$
6. $-2$
Coordonatele lui $A$ verifică ecuația dreptei: $2\cdot1+m=1$ , deci $m=-1$ .

Fie vectorii $\bar{u}$ și $\bar{v}$ , unde $|\bar{u}|=1$ , $|\bar{v}|=2$ și $\widehat{(\bar{u},\bar{v})}=\dfrac{\pi}{3}$ . Atunci produsul scalar $(2\bar{u}+\bar{v})\cdot(2\bar{v}-\bar{u})$ este:
1. $9$
2. $7$
3. $8$
4. $11$
5. $10$
6. $6$
$\bar{u}\cdot\bar{v}=|\bar{u}|\cdot|\bar{v}|\cdot\cos\dfrac{\pi}{3}=1\cdot2\cdot\dfrac{1}{2}=1$ .Desfăcând produsul: $(2\bar{u}+\bar{v})\cdot(2\bar{v}-\bar{u})=4\,\bar{u}\cdot\bar{v}-2|\bar{u}|^2+2|\bar{v}|^2-\bar{v}\cdot\bar{u}=3\,\bar{u}\cdot\bar{v}-2+8=3-2+8=9$ .
Dacă $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\hat{B}\right)=0$ , atunci $\sin\left(2\hat{B}-\dfrac{\pi}{4}\right)$ este egal cu:
1. $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
2. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
3. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{4}$
4. $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{4}$
5. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
6. $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
Din $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\hat{B}\right)=0$ rezultă $\hat{B}=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ , deci $2\hat{B}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi=\dfrac{\pi}{12}+2k\pi$ . $\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ .
În triunghiul $ABC$ se dau $\hat{A}=30^\circ$ , $AB=3$ și $AC=4$ . Atunci aria triunghiului $ABC$ este:
1. $2$
2. $12$
3. $3$
4. $6$
5. $9$
6. $1$
Aria este $\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}=\dfrac{3\cdot4\cdot\frac{1}{2}}{2}=3$ .
Valoarea expresiei $\sin\dfrac{\pi}{2}+\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}$ este:
1. $\dfrac{1}{2}$
2. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
3. $1$
4. $-1$
5. $2$
6. $0$
$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ și $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1$ , deci expresia este $1+1=2$ .
Aflați valoarea lui $m\in\mathbb{R}$ pentru care punctul $A(1,m)$ aparține dreptei de ecuație $2x+y=1$ .
1. $-1$
2. $2$
3. $3$
4. $1$
5. $0$
6. $-2$
Coordonatele lui $A$ verifică ecuația dreptei: $2\cdot1+m=1$ , deci $m=-1$ .

Matematică #140 Admitere Politehnica București 2017 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta A (iulie)