[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2017-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie-133

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2017-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie-133
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2017 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie) · Matematică #133

10 grile din Progresii aritmetice, Polinoame, Funcții elementare, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2017 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2017 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Să se determine $x\in\mathbb{R}$ astfel încât numerele $x$, $8$, $3x+2$ să fie (în această ordine) în progresie aritmetică.

a) $\dfrac{2}{5}$
b) $\dfrac{3}{4}$
c) $\dfrac{5}{2}$
d) $\dfrac{1}{3}$
e) $\dfrac{7}{2}$
f) $\dfrac{1}{6}$

Răspuns corect: e) $\dfrac{7}{2}$

Termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor: $2\cdot8=x+3x+2$, adică $4x=14$, deci $x=\dfrac{7}{2}$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2017, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 11 · cheie din baremul oficial

2. Să se rezolve ecuația $3^{2x-1}=27$.

a) $x=4$
b) $x=0$
c) $x=-1$
d) $x=1$
e) $x=2$
f) $x=-2$

Răspuns corect: e) $x=2$

$27=3^3$, deci $2x-1=3$ și $x=2$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2017, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 12 · cheie din baremul oficial

3. Să se determine abscisa punctului de extrem local al funcției $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-\ln x$.

a) $x=\sqrt{2}$
b) $x=\dfrac{e}{2}$
c) $x=2$
d) $x=3$
e) $x=1$
f) $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Răspuns corect: f) $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$f'(x)=2x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-1}{x}$, care pe $(0,\infty)$ se anulează doar în $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ și trece din negativ în pozitiv: acolo $f$ are un minim local.

Subiect oficial · Admitere UPB 2017, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 13 · cheie din baremul oficial

4. Să se calculeze integrala $\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$.

a) $\dfrac{e}{3}$
b) $3-e$
c) $1$
d) $\dfrac{e}{2}$
e) $e$
f) $e-1$

Răspuns corect: c) $1$

Prin părți: $\displaystyle\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C$, deci integrala este $(e-e)-(0-1)=1$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2017, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 14 · cheie din baremul oficial

5. Fie polinoamele $f,g\in\mathbb{R}[X]$, $f=(X-1)^{2017}+(X-3)^{2016}+X^2+X+1$ și $g=X^2-4X+4$. Să se determine restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g$.

a) $6X+1$
b) $X-1$
c) $6X-3$
d) $2X+1$
e) $2X-3$
f) $X+1$

Răspuns corect: c) $6X-3$

$g=(X-2)^2$, iar restul are forma $r=aX+b$: $f=(X-2)^2q+aX+b$. Pentru $X=2$: $f(2)=2a+b$; derivând și punând $X=2$: $f'(2)=a$.

$f(2)=1^{2017}+(-1)^{2016}+4+2+1=9$ și $f'(X)=2017(X-1)^{2016}+2016(X-3)^{2015}+2X+1$, deci $f'(2)=2017-2016+5=6$.

Așadar $a=6$, $b=9-12=-3$ și restul este $6X-3$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2017, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M1 Varianta A (iulie), itemul 15 · cheie din baremul oficial