Matematică #133 Admitere Politehnica București 2017 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie)
1/5
00:00
Să se determine x∈R astfel încât numerele x, 8, 3x+2 să fie (în această ordine) în progresie aritmetică.
Să se determine x∈R astfel încât numerele x, 8, 3x+2 să fie (în această ordine) în progresie aritmetică.
52
43
25
31
27
61
Termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor: 2⋅8=x+3x+2, adică 4x=14, deci x=27.
Să se rezolve ecuația 32x−1=27.
x=4
x=0
x=−1
x=1
x=2
x=−2
27=33, deci 2x−1=3 și x=2.
Să se determine abscisa punctului de extrem local al funcției f:(0,∞)→R, f(x)=x2−lnx.
x=2
x=2e
x=2
x=3
x=1
x=22
f′(x)=2x−x1=x2x2−1, care pe (0,∞) se anulează doar în x=21=22 și trece din negativ în pozitiv: acolo f are un minim local.
Să se calculeze integrala ∫01xexdx.
3e
3−e
1
2e
e
e−1
Prin părți: ∫xexdx=xex−ex+C, deci integrala este (e−e)−(0−1)=1.
Fie polinoamele f,g∈R[X], f=(X−1)2017+(X−3)2016+X2+X+1 și g=X2−4X+4. Să se determine restul împărțirii polinomului f la polinomul g.
6X+1
X−1
6X−3
2X+1
2X−3
X+1
g=(X−2)2, iar restul are forma r=aX+b: f=(X−2)2q+aX+b. Pentru X=2: f(2)=2a+b; derivând și punând X=2: f′(2)=a.f(2)=12017+(−1)2016+4+2+1=9 și f′(X)=2017(X−1)2016+2016(X−3)2015+2X+1, deci f′(2)=2017−2016+5=6.Așadar a=6, b=9−12=−3 și restul este 6X−3.