Soluțiile din intervalul (0,π) ale ecuației sin x+sin3x=0 sunt:

A) {(π)/(2)}. sin x+sin3x=2sin2xcos x, deci ecuația devine sin2x=0 sau cos x=0. Pentru x∈(0,π): sin2x=0 dă x=(π)/(2), iar cos x=0 dă tot x=(π)/(2). Mulțimea soluțiilor este {(π)/(2)} (de exemplu, x=(π)/(4) dă √(2)≠0).

Fie A(0,1), B(1,1) și C(1,0). Atunci aria triunghiului ABC este:

B) (1)/(2). AB este orizontală și BC verticală, deci triunghiul este dreptunghic în B, cu catetele AB=BC=1. Aria este (1·1)/(2)=(1)/(2).

Aflați valoarea parametrului m∈ℝ pentru care punctul P(1,m) aparține dreptei x+y=2.

C) m=1. Coordonatele lui P verifică ecuația dreptei: 1+m=2, deci m=1.

Dacă sin x=(1)/(2), x∈(0,(π)/(2)), atunci tgx este:

C) (1)/(√(3)). Pe (0,(π)/(2)) cosinusul este pozitiv: cos x=√(1-(1)/(4))=(√(3))/(2). Deci tgx=(1/2)/(√(3)/2)=(1)/(√(3)).

Fie S suma soluțiilor ecuației cos x+cos2x+cos3x=3, care aparțin intervalului [0,(π)/(2)]. Atunci:

D) S=0. Fiecare cosinus este cel mult 1, deci suma este 3 doar dacă cos x=cos2x=cos3x=1 simultan, ceea ce cere x=2kπ. Singura soluție din [0,(π)/(2)] este x=0, deci S=0.

Grile Ecuații trigonometrice · Matematică Politehnica 2016

1/5

00:00

Soluțiile din intervalul

(0,\pi)

ale ecuației

\sin x+\sin3x=0

sunt:

Soluțiile din intervalul $(0,\pi)$ ale ecuației $\sin x+\sin3x=0$ sunt:
1. $\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$
2. $\left\{\dfrac{\pi}{12}\right\}$
3. $\left\{\dfrac{\pi}{8}\right\}$
4. $\left\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{4}\right\}$
5. $\left\{\dfrac{\pi}{6}\right\}$
6. $\left\{\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{4}\right\}$
$\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x$ , deci ecuația devine $\sin2x=0$ sau $\cos x=0$ .Pentru $x\in(0,\pi)$ : $\sin2x=0$ dă $x=\dfrac{\pi}{2}$ , iar $\cos x=0$ dă tot $x=\dfrac{\pi}{2}$ . Mulțimea soluțiilor este $\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$ (de exemplu, $x=\dfrac{\pi}{4}$ dă $\sqrt{2}\neq0$ ).
Fie $A(0,1)$ , $B(1,1)$ și $C(1,0)$ . Atunci aria triunghiului $ABC$ este:
1. $1$
2. $\dfrac{1}{2}$
3. $\sqrt{2}$
4. $\dfrac{1}{3}$
5. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
6. $\dfrac{2}{3}$
$AB$ este orizontală și $BC$ verticală, deci triunghiul este dreptunghic în $B$ , cu catetele $AB=BC=1$ . Aria este $\dfrac{1\cdot1}{2}=\dfrac{1}{2}$ .
Aflați valoarea parametrului $m\in\mathbb{R}$ pentru care punctul $P(1,m)$ aparține dreptei $x+y=2$ .
1. $m=2$
2. $m=0$
3. $m=1$
4. $m=-2$
5. $m=\sqrt{2}$
6. $m=-1$
Coordonatele lui $P$ verifică ecuația dreptei: $1+m=2$ , deci $m=1$ .
Dacă $\sin x=\dfrac{1}{2}$ , $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , atunci $\operatorname{tg}x$ este:
1. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
2. $\sqrt{3}$
3. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
4. $1$
5. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
6. $\sqrt{2}$
Pe $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ cosinusul este pozitiv: $\cos x=\sqrt{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Deci $\operatorname{tg}x=\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ .
Fie $S$ suma soluțiilor ecuației $\cos x+\cos2x+\cos3x=3$ , care aparțin intervalului $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ . Atunci:
1. $S=\dfrac{\pi}{4}$
2. $S=\dfrac{\pi}{6}$
3. $S=\dfrac{\pi}{2}$
4. $S=0$
5. $S=\dfrac{\pi}{3}$
6. $S=\pi$
Fiecare cosinus este cel mult $1$ , deci suma este $3$ doar dacă $\cos x=\cos2x=\cos3x=1$ simultan, ceea ce cere $x=2k\pi$ .Singura soluție din $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ este $x=0$ , deci $S=0$ .

Soluțiile din intervalul $(0,\pi)$ ale ecuației $\sin x+\sin3x=0$ sunt:
1. $\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$
2. $\left\{\dfrac{\pi}{12}\right\}$
3. $\left\{\dfrac{\pi}{8}\right\}$
4. $\left\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{4}\right\}$
5. $\left\{\dfrac{\pi}{6}\right\}$
6. $\left\{\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{4}\right\}$
$\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x$ , deci ecuația devine $\sin2x=0$ sau $\cos x=0$ .Pentru $x\in(0,\pi)$ : $\sin2x=0$ dă $x=\dfrac{\pi}{2}$ , iar $\cos x=0$ dă tot $x=\dfrac{\pi}{2}$ . Mulțimea soluțiilor este $\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}$ (de exemplu, $x=\dfrac{\pi}{4}$ dă $\sqrt{2}\neq0$ ).
Fie $A(0,1)$ , $B(1,1)$ și $C(1,0)$ . Atunci aria triunghiului $ABC$ este:
1. $1$
2. $\dfrac{1}{2}$
3. $\sqrt{2}$
4. $\dfrac{1}{3}$
5. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
6. $\dfrac{2}{3}$
$AB$ este orizontală și $BC$ verticală, deci triunghiul este dreptunghic în $B$ , cu catetele $AB=BC=1$ . Aria este $\dfrac{1\cdot1}{2}=\dfrac{1}{2}$ .
Aflați valoarea parametrului $m\in\mathbb{R}$ pentru care punctul $P(1,m)$ aparține dreptei $x+y=2$ .
1. $m=2$
2. $m=0$
3. $m=1$
4. $m=-2$
5. $m=\sqrt{2}$
6. $m=-1$
Coordonatele lui $P$ verifică ecuația dreptei: $1+m=2$ , deci $m=1$ .
Dacă $\sin x=\dfrac{1}{2}$ , $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , atunci $\operatorname{tg}x$ este:
1. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
2. $\sqrt{3}$
3. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
4. $1$
5. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
6. $\sqrt{2}$
Pe $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ cosinusul este pozitiv: $\cos x=\sqrt{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Deci $\operatorname{tg}x=\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ .
Fie $S$ suma soluțiilor ecuației $\cos x+\cos2x+\cos3x=3$ , care aparțin intervalului $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ . Atunci:
1. $S=\dfrac{\pi}{4}$
2. $S=\dfrac{\pi}{6}$
3. $S=\dfrac{\pi}{2}$
4. $S=0$
5. $S=\dfrac{\pi}{3}$
6. $S=\pi$
Fiecare cosinus este cel mult $1$ , deci suma este $3$ doar dacă $\cos x=\cos2x=\cos3x=1$ simultan, ceea ce cere $x=2k\pi$ .Singura soluție din $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ este $x=0$ , deci $S=0$ .

Matematică #145 Admitere Politehnica București 2016 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta G1 (iulie)