Calculați ∫_0^1 xe^-x dx.

F) 1-(2)/(e). Integrând prin părți, o primitivă a lui xe^-x este -xe^-x-e^-x=-(x+1)e^-x. Deci ∫_0^1 xe^-x dx=-(x+1)e^-x|_0^1=-2e^-1+1=1-(2)/(e).

Să se rezolve ecuația √(2-x)=x.

D) x=1. Condițiile sunt 2-x≥0 și x≥0 (radicalul este nenegativ), deci x∈[0,2]. Ridicând la pătrat: 2-x=x^2, adică x^2+x-2=0, cu soluțiile -2 și 1. Doar x=1 respectă condițiile.

Fie A= 1 -1; 0 1. Să se calculeze det(A^2).

D) 1. det A=1·1-(-1)·0=1, iar det(A^2)=(det A)^2=1.

Grile Primitive · Matematică admitere Politehnica 2016

Calculați $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx$ .

$e-1$
$e$
$1$
$1-e$
$2e$
$1-\dfrac{2}{e}$

Integrând prin părți, o primitivă a lui

xe^{-x}

este

-xe^{-x}-e^{-x}=-(x+1)e^{-x}

.Deci

\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,dx=-(x+1)e^{-x}\Big|_0^1=-2e^{-1}+1=1-\dfrac{2}{e}

Într-o progresie aritmetică primii doi termeni sunt $a_1=1$ și $a_2=6$ . Să se calculeze $a_3$ .

$9$
$14$
$8$
$16$
$12$
$11$

Rația este

r=a_2-a_1=5

, deci

a_3=a_2+r=11

.

Mulțimea soluțiilor ecuației $x^3-5x^2+4x=0$ este:

$\{0,1,4\}$
$\{1,7\}$
$\{4,5\}$
$\{-1,6\}$
$\{0,2\}$
$\{-2,3,5\}$

Ecuația se scrie

x(x^2-5x+4)=0

, adică

x(x-1)(x-4)=0

, deci

x\in\{0,1,4\}

.

Să se rezolve ecuația $\sqrt{2-x}=x$ .

$x=4$
$x=-1$
$x=-4$
$x=1$
$x=2$
$x=6$

Condițiile sunt

2-x\ge0

și

x\ge0

(radicalul este nenegativ), deci

x\in[0,2]

.Ridicând la pătrat:

2-x=x^2

, adică

x^2+x-2=0

, cu soluțiile

-2

și

1

. Doar

x=1

respectă condițiile.

Fie $A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$ Să se calculeze $\det(A^2)$ .

$4$
$2$
$3$
$1$
$-1$
$14$

\det A=1\cdot1-(-1)\cdot0=1

, iar

\det(A^2)=(\det A)^2=1

.

Matematică #142 Admitere Politehnica București 2016 — Algebră și Analiză, Varianta M1 (iulie)