[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2015-algebra-si-analiza-m2-varianta-a-iulie-161

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2015-algebra-si-analiza-m2-varianta-a-iulie-161
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2015 — Algebră și Analiză, M2 Varianta A (iulie) · Matematică #161

10 grile din Sisteme de ecuații, Ecuații și inecuații de gradul I, Primitive, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2015 — Algebră și Analiză, M2 Varianta A (iulie). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2015 — Algebră și Analiză, M2 Varianta A (iulie))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie sistemul $\begin{cases}x-2y=m\\2x+y=n\end{cases}$. Să se determine numerele reale $m$ și $n$ astfel încât $x=2$, $y=1$ să fie soluție a sistemului.

a) $m=2,\ n=1$
b) $m=0,\ n=5$
c) $m=1,\ n=4$
d) $m=-1,\ n=3$
e) $m=3,\ n=1$
f) $m=4,\ n=3$

Răspuns corect: b) $m=0,\ n=5$

Înlocuim $x=2$, $y=1$: $m=2-2\cdot1=0$ și $n=2\cdot2+1=5$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2015, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M2 Varianta A (iulie), itemul 11 · cheie din baremul oficial

2. Să se rezolve inecuația $3x-1\ge2x$.

a) $x\ge1$
b) $x\in\varnothing$
c) $x\ge5$
d) $x\in[-1,0]$
e) $x\le\dfrac{1}{5}$
f) $x\le\dfrac{1}{3}$

Răspuns corect: a) $x\ge1$

$3x-1\ge2x\iff x\ge1$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2015, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M2 Varianta A (iulie), itemul 12 · cheie din baremul oficial

3. Să se calculeze $\displaystyle\lim_{\substack{\varepsilon\to0\\\varepsilon>0}}\int_{\varepsilon}^{1}x^{2015}\ln x\,dx$.

a) $-\infty$
b) $-\dfrac{1}{2016^2}$
c) $-\dfrac{1}{2015}$
d) $-\dfrac{1}{2014}$
e) $-\dfrac{1}{2015^2}$
f) $0$

Răspuns corect: b) $-\dfrac{1}{2016^2}$

Integrând prin părți ($u=\ln x$, $v'=x^{2015}$): $\displaystyle\int_{\varepsilon}^{1}x^{2015}\ln x\,dx=\dfrac{x^{2016}\ln x}{2016}\Big|_{\varepsilon}^{1}-\dfrac{1}{2016}\int_{\varepsilon}^{1}x^{2015}\,dx=-\dfrac{\varepsilon^{2016}\ln\varepsilon}{2016}-\dfrac{1-\varepsilon^{2016}}{2016^2}$.

Cum $\varepsilon^{2016}\ln\varepsilon\to0$ pentru $\varepsilon\to0$, limita este $-\dfrac{1}{2016^2}$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2015, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M2 Varianta A (iulie), itemul 13 · cheie din baremul oficial

4. Fie $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\m&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$. Să se determine $m\in\mathbb{R}$ astfel încât matricea $A$ să fie inversabilă.

a) $m\neq-\dfrac{1}{3}$
b) $m\neq0$
c) $m\neq\dfrac{1}{2}$
d) $m\neq1$
e) $m\neq-\dfrac{1}{4}$
f) $m\neq\dfrac{1}{4}$

Răspuns corect: c) $m\neq\dfrac{1}{2}$

$A$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det A\neq0$. Dezvoltând după ultima linie: $\det A=1\cdot\begin{vmatrix}1&2\\m&1\end{vmatrix}=1-2m$.

Deci $1-2m\neq0$, adică $m\neq\dfrac{1}{2}$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2015, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M2 Varianta A (iulie), itemul 14 · cheie din baremul oficial

5. Fie funcția $f\colon(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2-\ln x$. Să se determine abscisa punctului de extrem local al funcției $f$.

a) $\dfrac{1}{e}$
b) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
c) $\dfrac{1}{3}$
d) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
e) $\dfrac{1}{2}$
f) $1$

Răspuns corect: d) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$f'(x)=2x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-1}{x}$, care se anulează în $(0,\infty)$ doar pentru $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$f'$ este negativă înainte și pozitivă după acest punct, deci $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ este punct de minim local.

Subiect oficial · Admitere UPB 2015, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, M2 Varianta A (iulie), itemul 15 · cheie din baremul oficial