Să se calculeze lim_substackε→0; ε>0∫_ε^1x^2015ln x dx.

B) -(1)/(2016^2). Integrând prin părți (u=ln x, v'=x^2015): ∫_ε^1x^2015ln x dx=dfracx^2016ln x2016|_ε^1-(1)/(2016)∫_ε^1x^2015 dx=-dfracε^2016lnε2016-dfrac1-ε^20162016^2. Cum ε^2016lnε→0 pentru ε→0, limita este -(1)/(2016^2).

Fie A= 1 2 3; m 1 3; 0 0 1. Să se determine m∈ℝ astfel încât matricea A să fie inversabilă.

C) m≠(1)/(2). A este inversabilă dacă și numai dacă det A≠0. Dezvoltând după ultima linie: det A=1· 1 2; m 1 =1-2m. Deci 1-2m≠0, adică m≠(1)/(2).

Fie funcția fcolon(0,∞)→ℝ, f(x)=x^2-ln x. Să se determine abscisa punctului de extrem local al funcției f.

D) (√(2))/(2). f'(x)=2x-(1)/(x)=(2x^2-1)/(x), care se anulează în (0,∞) doar pentru x=(1)/(√(2))=(√(2))/(2). f' este negativă înainte și pozitivă după acest punct, deci x=(√(2))/(2) este punct de minim local.

Grile Sisteme de ecuații · Matematică admitere Politehnica 2015

1/5

00:00

Fie sistemul

\begin{cases}x-2y=m\\2x+y=n\end{cases}

Să se determine numerele reale

m

și

n

astfel încât

x=2

,

y=1

să fie soluție a sistemului.

Fie sistemul $\begin{cases}x-2y=m\\2x+y=n\end{cases}$ Să se determine numerele reale $m$ și $n$ astfel încât $x=2$ , $y=1$ să fie soluție a sistemului.
1. $m=2,\ n=1$
2. $m=0,\ n=5$
3. $m=1,\ n=4$
4. $m=-1,\ n=3$
5. $m=3,\ n=1$
6. $m=4,\ n=3$
Înlocuim $x=2$ , $y=1$ : $m=2-2\cdot1=0$ și $n=2\cdot2+1=5$ .
Să se rezolve inecuația $3x-1\ge2x$ .
1. $x\ge1$
2. $x\in\varnothing$
3. $x\ge5$
4. $x\in[-1,0]$
5. $x\le\dfrac{1}{5}$
6. $x\le\dfrac{1}{3}$
$3x-1\ge2x\iff x\ge1$ .
Să se calculeze $\displaystyle\lim_{\substack{\varepsilon\to0\\\varepsilon>0}}\int_{\varepsilon}^{1}x^{2015}\ln x\,dx$ .
1. $-\infty$
2. $-\dfrac{1}{2016^2}$
3. $-\dfrac{1}{2015}$
4. $-\dfrac{1}{2014}$
5. $-\dfrac{1}{2015^2}$
6. $0$
Integrând prin părți ( $u=\ln x$ , $v'=x^{2015}$ ): $\displaystyle\int_{\varepsilon}^{1}x^{2015}\ln x\,dx=\dfrac{x^{2016}\ln x}{2016}\Big|_{\varepsilon}^{1}-\dfrac{1}{2016}\int_{\varepsilon}^{1}x^{2015}\,dx=-\dfrac{\varepsilon^{2016}\ln\varepsilon}{2016}-\dfrac{1-\varepsilon^{2016}}{2016^2}$ Cum $\varepsilon^{2016}\ln\varepsilon\to0$ pentru $\varepsilon\to0$ , limita este $-\dfrac{1}{2016^2}$ .
Fie $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\m&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$ Să se determine $m\in\mathbb{R}$ astfel încât matricea $A$ să fie inversabilă.
1. $m\neq-\dfrac{1}{3}$
2. $m\neq0$
3. $m\neq\dfrac{1}{2}$
4. $m\neq1$
5. $m\neq-\dfrac{1}{4}$
6. $m\neq\dfrac{1}{4}$
$A$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det A\neq0$ . Dezvoltând după ultima linie: $\det A=1\cdot\begin{vmatrix}1&2\\m&1\end{vmatrix}=1-2m$ Deci $1-2m\neq0$ , adică $m\neq\dfrac{1}{2}$ .
Fie funcția $f\colon(0,\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-\ln x$ . Să se determine abscisa punctului de extrem local al funcției $f$ .
1. $\dfrac{1}{e}$
2. $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
3. $\dfrac{1}{3}$
4. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
5. $\dfrac{1}{2}$
6. $1$
$f'(x)=2x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-1}{x}$ , care se anulează în $(0,\infty)$ doar pentru $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . $f'$ este negativă înainte și pozitivă după acest punct, deci $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ este punct de minim local.

Fie sistemul $\begin{cases}x-2y=m\\2x+y=n\end{cases}$ Să se determine numerele reale $m$ și $n$ astfel încât $x=2$ , $y=1$ să fie soluție a sistemului.
1. $m=2,\ n=1$
2. $m=0,\ n=5$
3. $m=1,\ n=4$
4. $m=-1,\ n=3$
5. $m=3,\ n=1$
6. $m=4,\ n=3$
Înlocuim $x=2$ , $y=1$ : $m=2-2\cdot1=0$ și $n=2\cdot2+1=5$ .
Să se rezolve inecuația $3x-1\ge2x$ .
1. $x\ge1$
2. $x\in\varnothing$
3. $x\ge5$
4. $x\in[-1,0]$
5. $x\le\dfrac{1}{5}$
6. $x\le\dfrac{1}{3}$
$3x-1\ge2x\iff x\ge1$ .
Să se calculeze $\displaystyle\lim_{\substack{\varepsilon\to0\\\varepsilon>0}}\int_{\varepsilon}^{1}x^{2015}\ln x\,dx$ .
1. $-\infty$
2. $-\dfrac{1}{2016^2}$
3. $-\dfrac{1}{2015}$
4. $-\dfrac{1}{2014}$
5. $-\dfrac{1}{2015^2}$
6. $0$
Integrând prin părți ( $u=\ln x$ , $v'=x^{2015}$ ): $\displaystyle\int_{\varepsilon}^{1}x^{2015}\ln x\,dx=\dfrac{x^{2016}\ln x}{2016}\Big|_{\varepsilon}^{1}-\dfrac{1}{2016}\int_{\varepsilon}^{1}x^{2015}\,dx=-\dfrac{\varepsilon^{2016}\ln\varepsilon}{2016}-\dfrac{1-\varepsilon^{2016}}{2016^2}$ Cum $\varepsilon^{2016}\ln\varepsilon\to0$ pentru $\varepsilon\to0$ , limita este $-\dfrac{1}{2016^2}$ .
Fie $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\m&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$ Să se determine $m\in\mathbb{R}$ astfel încât matricea $A$ să fie inversabilă.
1. $m\neq-\dfrac{1}{3}$
2. $m\neq0$
3. $m\neq\dfrac{1}{2}$
4. $m\neq1$
5. $m\neq-\dfrac{1}{4}$
6. $m\neq\dfrac{1}{4}$
$A$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det A\neq0$ . Dezvoltând după ultima linie: $\det A=1\cdot\begin{vmatrix}1&2\\m&1\end{vmatrix}=1-2m$ Deci $1-2m\neq0$ , adică $m\neq\dfrac{1}{2}$ .
Fie funcția $f\colon(0,\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-\ln x$ . Să se determine abscisa punctului de extrem local al funcției $f$ .
1. $\dfrac{1}{e}$
2. $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
3. $\dfrac{1}{3}$
4. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
5. $\dfrac{1}{2}$
6. $1$
$f'(x)=2x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-1}{x}$ , care se anulează în $(0,\infty)$ doar pentru $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . $f'$ este negativă înainte și pozitivă după acest punct, deci $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ este punct de minim local.

Matematică #161 Admitere Politehnica București 2015 — Algebră și Analiză, M2 Varianta A (iulie)