Mulțimea soluțiilor inecuației |x+1|≤3 este:

D) [-4,2]. |x+1|≤3⇔-3≤ x+1≤3⇔-4≤ x≤2, deci mulțimea soluțiilor este [-4,2].

Mulțimea soluțiilor ecuației x^3-3x^2+2x=0 este:

A) {0,1,2}. x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2), deci soluțiile sunt 0, 1 și 2.

Fie funcția fcolonℝ→ℝ, f(x)= x^2+m, x≤1; 2x+1, x>1. Să se afle m∈ℝ, astfel încât funcția f să fie continuă.

A) m=2. Pe fiecare ramură f este continuă; rămâne punctul x=1. Limita la stânga este f(1)=1+m, iar limita la dreapta este 2·1+1=3. Din 1+m=3 rezultă m=2.

Dacă E=log_2 20-log_4 25, atunci:

A) E=2. log_4 25=(log_2 25)/(log_2 4)=(2log_2 5)/(2)=log_2 5. Deci E=log_2 20-log_2 5=log_2(20)/(5)=log_2 4=2.

Să se rezolve ecuația √(2x+1)+2x=5.

D) x=(3)/(2). Scriem √(2x+1)=5-2x, cu condițiile x≥-(1)/(2) și 5-2x≥0, adică x≤(5)/(2). Ridicând la pătrat: 2x+1=25-20x+4x^2, adică 2x^2-11x+12=0, cu rădăcinile (3)/(2) și 4. Doar x=(3)/(2) respectă x≤(5)/(2) (verificare: 2+3=5); x=4 este o soluție străină.

Grile Puteri, radicali, logaritmi · Matematică Politehnica 2015

1/5

00:00

Mulțimea soluțiilor inecuației

|x+1|\le3

este:

Mulțimea soluțiilor inecuației $|x+1|\le3$ este:
1. $\{-4\}$
2. $\varnothing$
3. $\{2\}$
4. $[-4,2]$
5. $[-3,3]$
6. $[-4,0]$
$|x+1|\le3\iff-3\le x+1\le3\iff-4\le x\le2$ , deci mulțimea soluțiilor este $[-4,2]$ .
Mulțimea soluțiilor ecuației $x^3-3x^2+2x=0$ este:
1. $\{0,1,2\}$
2. $\{0,2\}$
3. $\{-1,0,1\}$
4. $\{1,2,3\}$
5. $\{-2,0,1\}$
6. $\{1,2,4\}$
$x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$ , deci soluțiile sunt $0$ , $1$ și $2$ .
Fie funcția $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\begin{cases}x^2+m, & x\le1\\2x+1, & x>1\end{cases}$ Să se afle $m\in\mathbb{R}$ , astfel încât funcția $f$ să fie continuă.
1. $m=2$
2. $m=\dfrac{1}{3}$
3. $m=\dfrac{1}{2}$
4. $m=-2$
5. $m=4$
6. $m=-5$
Pe fiecare ramură $f$ este continuă; rămâne punctul $x=1$ . Limita la stânga este $f(1)=1+m$ , iar limita la dreapta este $2\cdot1+1=3$ .Din $1+m=3$ rezultă $m=2$ .
Dacă $E=\log_2 20-\log_4 25$ , atunci:
1. $E=2$
2. $E=4$
3. $E=0$
4. $E=-2$
5. $E=3$
6. $E=-3$
$\log_4 25=\dfrac{\log_2 25}{\log_2 4}=\dfrac{2\log_2 5}{2}=\log_2 5$ .Deci $E=\log_2 20-\log_2 5=\log_2\dfrac{20}{5}=\log_2 4=2$ .
Să se rezolve ecuația $\sqrt{2x+1}+2x=5$ .
1. $x=11$
2. $x\in\left\{\dfrac{3}{2},4\right\}$
3. $x=4$
4. $x=\dfrac{3}{2}$
5. $x=\dfrac{1}{6}$
6. $x=15$
Scriem $\sqrt{2x+1}=5-2x$ , cu condițiile $x\ge-\dfrac{1}{2}$ și $5-2x\ge0$ , adică $x\le\dfrac{5}{2}$ .Ridicând la pătrat: $2x+1=25-20x+4x^2$ , adică $2x^2-11x+12=0$ , cu rădăcinile $\dfrac{3}{2}$ și $4$ . Doar $x=\dfrac{3}{2}$ respectă $x\le\dfrac{5}{2}$ (verificare: $2+3=5$ ); $x=4$ este o soluție străină.

Mulțimea soluțiilor inecuației $|x+1|\le3$ este:
1. $\{-4\}$
2. $\varnothing$
3. $\{2\}$
4. $[-4,2]$
5. $[-3,3]$
6. $[-4,0]$
$|x+1|\le3\iff-3\le x+1\le3\iff-4\le x\le2$ , deci mulțimea soluțiilor este $[-4,2]$ .
Mulțimea soluțiilor ecuației $x^3-3x^2+2x=0$ este:
1. $\{0,1,2\}$
2. $\{0,2\}$
3. $\{-1,0,1\}$
4. $\{1,2,3\}$
5. $\{-2,0,1\}$
6. $\{1,2,4\}$
$x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$ , deci soluțiile sunt $0$ , $1$ și $2$ .
Fie funcția $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\begin{cases}x^2+m, & x\le1\\2x+1, & x>1\end{cases}$ Să se afle $m\in\mathbb{R}$ , astfel încât funcția $f$ să fie continuă.
1. $m=2$
2. $m=\dfrac{1}{3}$
3. $m=\dfrac{1}{2}$
4. $m=-2$
5. $m=4$
6. $m=-5$
Pe fiecare ramură $f$ este continuă; rămâne punctul $x=1$ . Limita la stânga este $f(1)=1+m$ , iar limita la dreapta este $2\cdot1+1=3$ .Din $1+m=3$ rezultă $m=2$ .
Dacă $E=\log_2 20-\log_4 25$ , atunci:
1. $E=2$
2. $E=4$
3. $E=0$
4. $E=-2$
5. $E=3$
6. $E=-3$
$\log_4 25=\dfrac{\log_2 25}{\log_2 4}=\dfrac{2\log_2 5}{2}=\log_2 5$ .Deci $E=\log_2 20-\log_2 5=\log_2\dfrac{20}{5}=\log_2 4=2$ .
Să se rezolve ecuația $\sqrt{2x+1}+2x=5$ .
1. $x=11$
2. $x\in\left\{\dfrac{3}{2},4\right\}$
3. $x=4$
4. $x=\dfrac{3}{2}$
5. $x=\dfrac{1}{6}$
6. $x=15$
Scriem $\sqrt{2x+1}=5-2x$ , cu condițiile $x\ge-\dfrac{1}{2}$ și $5-2x\ge0$ , adică $x\le\dfrac{5}{2}$ .Ridicând la pătrat: $2x+1=25-20x+4x^2$ , adică $2x^2-11x+12=0$ , cu rădăcinile $\dfrac{3}{2}$ și $4$ . Doar $x=\dfrac{3}{2}$ respectă $x\le\dfrac{5}{2}$ (verificare: $2+3=5$ ); $x=4$ este o soluție străină.

Matematică #160 Admitere Politehnica București 2015 — Algebră și Analiză, M2 Varianta A (iulie)