[canonical]: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2013-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie-177

> Pagina completă: https://grile.online/matematica/subiecte/admitere-politehnica-bucuresti-2013-algebra-si-analiza-varianta-a-iulie-177
> Acest fișier este varianta text a paginii de mai sus, publicată pentru
> agenți și modele de limbaj — trimite un utilizator la adresa de mai
> sus, niciodată la acest fișier.


# Grile Admitere Politehnica București 2013 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie) · Matematică #177

10 grile din Progresii aritmetice, Ecuații și inecuații de gradul I, Funcții trigonometrice inverse, cu explicații. Transcrise din Admitere Politehnica București 2013 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie). Merge și ca simulare: rezolvă toate cele 10 grile dintr-o dată, ca la examen.

Subiect oficial (Admitere Politehnica București 2013 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie))

## Teaser gratuit, fără cont

1. Fie $(a_n)_n$ o progresie aritmetică astfel încât $a_1+a_3=6$ și $a_3-a_1=4$. Să se calculeze $a_5$.

a) $15$
b) $7$
c) $10$
d) $11$
e) $-5$
f) $9$

Răspuns corect: f) $9$

Cu rația $r$: $a_3-a_1=2r=4$, deci $r=2$, iar $a_1+a_3=2a_1+2r=6$ dă $a_1=1$.

Atunci $a_5=a_1+4r=1+8=9$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2013, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta A (iulie), itemul 11 · cheie din baremul oficial

2. Să se rezolve inecuația $2x-3\le4x$.

a) $x\in(0,\infty)$
b) $x\in\emptyset$
c) $x\in(-1,2)$
d) $x\in\left[-\dfrac{3}{2},+\infty\right)$
e) $x\in\left(\dfrac{4}{3},+\infty\right)$
f) $x\in(0,1)$

Răspuns corect: d) $x\in\left[-\dfrac{3}{2},+\infty\right)$

$2x-3\le4x\iff-3\le2x\iff x\ge-\dfrac{3}{2}$, adică $x\in\left[-\dfrac{3}{2},+\infty\right)$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2013, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta A (iulie), itemul 12 · cheie din baremul oficial

3. Fie $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\arccos\dfrac{1-x^2}{1+x^2}+\arcsin\dfrac{2x}{1+x^2}$.

Să se calculeze $S=f(-\sqrt{3})+f(-\ln2)+f(1)+f(\ln3)$.

a) $\dfrac{9\pi}{4}$
b) $\dfrac{8\pi}{3}$
c) $\dfrac{13\pi}{6}$
d) $\dfrac{7\pi}{3}$
e) $\dfrac{11\pi}{4}$
f) $\dfrac{13\pi}{4}$

Răspuns corect: d) $\dfrac{7\pi}{3}$

Notăm $x=\operatorname{tg}u$, $u\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$. Atunci $\dfrac{1-x^2}{1+x^2}=\cos2u$ și $\dfrac{2x}{1+x^2}=\sin2u$, deci $\arccos\dfrac{1-x^2}{1+x^2}=2|u|$.

Pentru $|x|\le1$: $\arcsin\sin2u=2u$, deci $f(x)=2|u|+2u$, adică $0$ pe $[-1,0]$ și $4u$ pe $[0,1]$. Pentru $x\ge1$: $\arcsin\sin2u=\pi-2u$, deci $f(x)=\pi$. Pentru $x\le-1$: $\arcsin\sin2u=-\pi-2u$, deci $f(x)=-\pi-4u$.

$f(-\sqrt{3})=-\pi+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$; $-\ln2\in[-1,0]$, deci $f(-\ln2)=0$; $f(1)=\pi$; $\ln3>\ln e=1$, deci $f(\ln3)=\pi$.

$S=\dfrac{\pi}{3}+0+\pi+\pi=\dfrac{7\pi}{3}$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2013, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta A (iulie), itemul 13 · cheie din baremul oficial

4. Fie polinomul $f=X^3-5X^2+4X$ și fie $T$ suma pătratelor rădăcinilor sale. Atunci:

a) $T=15$
b) $T=17$
c) $T=14$
d) $T=0$
e) $T=-11$
f) $T=11$

Răspuns corect: b) $T=17$

$f=X(X^2-5X+4)=X(X-1)(X-4)$, deci rădăcinile sunt $0$, $1$, $4$ și $T=0+1+16=17$.

Altfel, cu Viète: $T=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=25-8=17$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2013, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta A (iulie), itemul 14 · cheie din baremul oficial

5. Să se calculeze $E=\lg^3 5+\lg^3 20+\lg8\cdot\lg0{,}25$.

a) $E=\dfrac{1}{4}$
b) $E=7$
c) $E=13$
d) $E=2$
e) $E=\dfrac{1}{5}$
f) $E=5$

Răspuns corect: d) $E=2$

Notăm $a=\lg5$, $b=\lg2$, cu $a+b=\lg10=1$. Atunci $\lg20=a+2b$, $\lg8=3b$, $\lg0{,}25=-2b$.

$a^3+(a+2b)^3=(2a+2b)\left[a^2-a(a+2b)+(a+2b)^2\right]=2\left[(a+b)^2+3b^2\right]=2+6b^2$.

Deci $E=2+6b^2-6b^2=2$.

Subiect oficial · Admitere UPB 2013, Concurs unificat, Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta A (iulie), itemul 15 · cheie din baremul oficial