Să se rezolve inecuația 2x-3≤4x.

D) x∈[-(3)/(2),+∞). 2x-3≤4x⇔-3≤2x⇔ x≥-(3)/(2), adică x∈[-(3)/(2),+∞).

Fie fcolonℝ→ℝ, f(x)=arccos(1-x^2)/(1+x^2)+arcsin(2x)/(1+x^2). Să se calculeze S=f(-√(3))+f(-ln2)+f(1)+f(ln3).

D) (7π)/(3). Notăm x=tgu, u∈(-(π)/(2),(π)/(2)). Atunci (1-x^2)/(1+x^2)=cos2u și (2x)/(1+x^2)=sin2u, deci arccos(1-x^2)/(1+x^2)=2|u|. Pentru |x|≤1: arcsinsin2u=2u, deci f(x)=2|u|+2u, adică 0 pe [-1,0] și 4u pe [0,1]. Pentru x≥1: arcsinsin2u=π-2u, deci f(x)=π. Pentru x≤-1: arcsinsin2u=-π-2u, deci f(x)=-π-4u. f(-√(3))=-π+(4π)/(3)=(π)/(3); -ln2∈[-1,0], deci f(-ln2)=0; f(1)=π; ln3>ln e=1, deci f(ln3)=π. S=(π)/(3)+0+π+π=(7π)/(3).

Să se calculeze E=lg^3 5+lg^3 20+lg8·lg0,25.

D) E=2. Notăm a=lg5, b=lg2, cu a+b=lg10=1. Atunci lg20=a+2b, lg8=3b, lg0,25=-2b. a^3+(a+2b)^3=(2a+2b)[a^2-a(a+2b)+(a+2b)^2]=2[(a+b)^2+3b^2]=2+6b^2. Deci E=2+6b^2-6b^2=2.

Grile Progresii aritmetice · Matematică admitere Politehnica 2013

Fie $(a_n)_n$ o progresie aritmetică astfel încât $a_1+a_3=6$ și $a_3-a_1=4$ . Să se calculeze $a_5$ .

$15$
$7$
$10$
$11$
$-5$
$9$

Cu rația

r

:

a_3-a_1=2r=4

, deci

r=2

, iar

a_1+a_3=2a_1+2r=6

dă

a_1=1

.Atunci

a_5=a_1+4r=1+8=9

.

Să se rezolve inecuația $2x-3\le4x$ .

$x\in(0,\infty)$
$x\in\emptyset$
$x\in(-1,2)$
$x\in\left[-\dfrac{3}{2},+\infty\right)$
$x\in\left(\dfrac{4}{3},+\infty\right)$
$x\in(0,1)$

2x-3\le4x\iff-3\le2x\iff x\ge-\dfrac{3}{2}

, adică

x\in\left[-\dfrac{3}{2},+\infty\right)

.

Fie $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\arccos\dfrac{1-x^2}{1+x^2}+\arcsin\dfrac{2x}{1+x^2}$ .Să se calculeze $S=f(-\sqrt{3})+f(-\ln2)+f(1)+f(\ln3)$ .

$\dfrac{9\pi}{4}$
$\dfrac{8\pi}{3}$
$\dfrac{13\pi}{6}$
$\dfrac{7\pi}{3}$
$\dfrac{11\pi}{4}$
$\dfrac{13\pi}{4}$

Notăm

x=\operatorname{tg}u

,

u\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)

. Atunci

\dfrac{1-x^2}{1+x^2}=\cos2u

și

\dfrac{2x}{1+x^2}=\sin2u

, deci

\arccos\dfrac{1-x^2}{1+x^2}=2|u|

.Pentru

|x|\le1

:

\arcsin\sin2u=2u

, deci

f(x)=2|u|+2u

, adică

0

pe

[-1,0]

și

4u

pe

[0,1]

. Pentru

x\ge1

:

\arcsin\sin2u=\pi-2u

, deci

f(x)=\pi

. Pentru

x\le-1

:

\arcsin\sin2u=-\pi-2u

, deci

f(x)=-\pi-4u

.

f(-\sqrt{3})=-\pi+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}

;

-\ln2\in[-1,0]

, deci

f(-\ln2)=0

;

f(1)=\pi

;

\ln3>\ln e=1

, deci

f(\ln3)=\pi

.

S=\dfrac{\pi}{3}+0+\pi+\pi=\dfrac{7\pi}{3}

.

Fie polinomul $f=X^3-5X^2+4X$ și fie $T$ suma pătratelor rădăcinilor sale. Atunci:

$T=15$
$T=17$
$T=14$
$T=0$
$T=-11$
$T=11$

f=X(X^2-5X+4)=X(X-1)(X-4)

, deci rădăcinile sunt

0

,

1

,

4

și

T=0+1+16=17

.Altfel, cu Viète:

T=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=25-8=17

.

Să se calculeze $E=\lg^3 5+\lg^3 20+\lg8\cdot\lg0{,}25$ .

$E=\dfrac{1}{4}$
$E=7$
$E=13$
$E=2$
$E=\dfrac{1}{5}$
$E=5$

Notăm

a=\lg5

,

b=\lg2

, cu

a+b=\lg10=1

. Atunci

\lg20=a+2b

,

\lg8=3b

,

\lg0{,}25=-2b

.

a^3+(a+2b)^3=(2a+2b)\left[a^2-a(a+2b)+(a+2b)^2\right]=2\left[(a+b)^2+3b^2\right]=2+6b^2

.Deci

E=2+6b^2-6b^2=2

.

Matematică #177 Admitere Politehnica București 2013 — Algebră și Analiză, Varianta A (iulie)