Se consideră triunghiul ABC cu laturile BC=2, AB=√(2), AC=1+√(3). Să se calculeze cosA.

E) (√(2))/(2). Din teorema cosinusului, cosA=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2 AB· AC)=(2+(4+2√(3))-4)/(2√(2) (1+√(3))). Numărătorul este 2+2√(3)=2(1+√(3)), deci cosA=(1)/(√(2))=(√(2))/(2).

Dacă z=2+i atunci z+z este:

F) 4. z=2-i, deci z+z=(2+i)+(2-i)=4.

Soluția ecuației 2sin x-1=0, x∈[0.(π)/(2)] este:

B) (π)/(6). sin x=(1)/(2), iar în intervalul [0,(π)/(2)] singura soluție este x=(π)/(6).

Fie w=2u+3v, unde u=2i+3j și v=i-2j. Atunci \|w\| este:

D) 7. w=2(2i+3j)+3(i-2j)=7i+0cdotj, deci \|w\|=7.

Grile Cercul trigonometric · Matematică Politehnica 2011 #187

Se consideră triunghiul $ABC$ cu laturile $BC=2$ , $AB=\sqrt{2}$ , $AC=1+\sqrt{3}$ . Să se calculeze $\cos\hat{A}$ .

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{1}{2}$
$0$
$\sqrt{3}$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$1$

Din teorema cosinusului,

\cos\hat{A}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\,AB\cdot AC}=\dfrac{2+(4+2\sqrt{3})-4}{2\sqrt{2}\,(1+\sqrt{3})}

.Numărătorul este

2+2\sqrt{3}=2(1+\sqrt{3})

, deci

\cos\hat{A}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

.

Dacă $z=2+i$ atunci $z+\bar{z}$ este:

$3$
$6$
$1+i$
$5$
$7i$
$4$

\bar{z}=2-i

, deci

z+\bar{z}=(2+i)+(2-i)=4

.

Se dau vectorii $\vec{u}=3\vec{i}+(\lambda-4)\vec{j}$ și $\vec{v}=\lambda\vec{i}+\vec{j}$ . Să se determine $\lambda\in\mathbb{R}$ astfel încât vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ să fie perpendiculari.

$\lambda=-1$
$\lambda=2$
$\lambda=1$
$\lambda=\dfrac{1}{2}$
$\lambda=-\dfrac{3}{2}$
$\lambda=0$

Vectorii sunt perpendiculari exact când produsul scalar este nul:

3\lambda+(\lambda-4)\cdot1=0

, adică

4\lambda=4

și

\lambda=1

.

Soluția ecuației $2\sin x-1=0$ , $x\in\left[0.\dfrac{\pi}{2}\right]$ este:

$\dfrac{\pi}{10}$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{2\pi}{5}$
$0$
$\dfrac{\pi}{7}$
$\dfrac{\pi}{4}$

\sin x=\dfrac{1}{2}

, iar în intervalul

\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]

singura soluție este

x=\dfrac{\pi}{6}

.

Fie $\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}$ , unde $\vec{u}=2\vec{i}+3\vec{j}$ și $\vec{v}=\vec{i}-2\vec{j}$ . Atunci $\|\vec{w}\|$ este:

$6$
$2$
$0$
$7$
$\sqrt{5}$
$-2$

\vec{w}=2(2\vec{i}+3\vec{j})+3(\vec{i}-2\vec{j})=7\vec{i}+0\cdot\vec{j}

, deci

\|\vec{w}\|=7

.

Matematică #187 Admitere Politehnica București 2011 — Geometrie și Trigonometrie, Varianta A (iulie)