Mulțimea valorilor m∈ℝ pentru care logaritmul log_0,5(x^2-2(m+3)x+m^2-3) este definit pentru orice x∈ℝ este:

B) (-∞,-2). Logaritmul e definit pentru orice x dacă x^2-2(m+3)x+m^2-3>0 pentru orice x∈ℝ, adică Δ<0: (Δ)/(4)=(m+3)^2-(m^2-3)=6m+12<0, deci m<-2. Mulțimea este (-∞,-2).

Abscisa x a maximului funcției f:ℝ→ℝ, f(x)=min{x+2, -2x+2}, este:

A) 0. x+2≤ -2x+2 ⇔ x≤ 0, deci f(x)=x+2 pentru x≤0 (crescătoare) și f(x)=-2x+2 pentru x>0 (descrescătoare). Maximul se atinge în x=0, unde f(0)=2.

Se consideră (a_n)_n∈ℕ^* o progresie aritmetică de rație r număr real nenul și T=dfraca_2023a_1+a_2020. Dacă a_1=4r și S=1-T+T^2-T^3+…+T^2024-T^2025, atunci S este:

D) (2027)/(4053)[1-((2026)/(2027))^2026]. a_n=a_1+(n-1)r=(n+3)r, deci a_2023=2026r și a_1+a_2020=4r+2023r=2027r, de unde T=(2026)/(2027). S este suma a 2026 termeni ai unei progresii geometrice cu rația -T: S=dfrac1-(-T)^20261+T=dfrac1-T^20261+(2026)/(2027)=(2027)/(4053)[1-((2026)/(2027))^2026].

(2027)/(4053)[((2026)/(2027))^2026+1]

(4053)/(2027)[1-((2026)/(2027))^2026]

(2027)/(4053)[((2026)/(2027))^2026-1]

Fie f:ℝ→ℝ, f(x)=-3x^2+(m-1)x+2. Mulțimea valorilor lui m∈ℝ astfel încât f să fie strict descrescătoare pe intervalul [2,∞) este:

A) (-∞,13]. Coeficientul lui x^2 este negativ, deci f este strict descrescătoare pe [x_V,∞), cu x_V=(m-1)/(6). Condiția [2,∞)⊆[x_V,∞) înseamnă (m-1)/(6)≤2, adică m≤13: m∈(-∞,13].

Dacă f:[0,3]→ℝ, f(x)= 2x, x∈[0,1); e^-1+2-xe^-x^2, x∈[1,3], atunci ∫_frac12^2f(x) dx este:

D) (11)/(4)+(1)/(2)(e^-1+e^-4). Împărțim integrala în x=1: ∫_frac12^12x dx=1-dfrac14=dfrac34 și ∫_1^2(e^-1+2-xe^-x^2)dx=e^-1+2+.dfrace^-x^22|_1^2=e^-1+2+dfrace^-4-e^-12. Suma este (11)/(4)+dfrac12(e^-1+e^-4).

Grile Funcția de gradul al II-lea · Matematică admitere ASE 2026

1/5

00:00

Mulțimea valorilor

m\in\mathbb{R}

pentru care logaritmul

\log_{0{,}5}\left(x^2-2(m+3)x+m^2-3\right)

este definit pentru orice

x\in\mathbb{R}

este:

Mulțimea valorilor $m\in\mathbb{R}$ pentru care logaritmul $\log_{0{,}5}\left(x^2-2(m+3)x+m^2-3\right)$ este definit pentru orice $x\in\mathbb{R}$ este:
1. $\left(-\infty,-\dfrac{11}{6}\right)$
2. $(-\infty,-2)$
3. $\left\{-\dfrac{11}{6}\right\}$
4. $(-\infty,-3)$
5. $\emptyset$
Logaritmul e definit pentru orice $x$ dacă $x^2-2(m+3)x+m^2-3>0$ pentru orice $x\in\mathbb{R}$ , adică $\Delta<0$ : $\dfrac{\Delta}{4}=(m+3)^2-(m^2-3)=6m+12<0$ , deci $m<-2$ . Mulțimea este $(-\infty,-2)$ .
Abscisa $x$ a maximului funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\min\{x+2,\,-2x+2\}$ , este:
1. $0$
2. $2$
3. $1$
4. $\sqrt{2}$
5. $\dfrac{1}{2}$
$x+2\le -2x+2 \Leftrightarrow x\le 0$ , deci $f(x)=x+2$ pentru $x\le0$ (crescătoare) și $f(x)=-2x+2$ pentru $x>0$ (descrescătoare). Maximul se atinge în $x=0$ , unde $f(0)=2$ .
Se consideră $(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ o progresie aritmetică de rație $r$ număr real nenul și $T=\dfrac{a_{2023}}{a_1+a_{2020}}$ . Dacă $a_1=4r$ și $S=1-T+T^2-T^3+\ldots+T^{2024}-T^{2025}$ , atunci $S$ este:
1. $\dfrac{2027}{4053}\left[\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}+1\right]$
2. $2027\left[1-\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}\right]$
3. $\dfrac{4053}{2027}\left[1-\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}\right]$
4. $\dfrac{2027}{4053}\left[1-\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}\right]$
5. $\dfrac{2027}{4053}\left[\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}-1\right]$
$a_n=a_1+(n-1)r=(n+3)r$ , deci $a_{2023}=2026r$ și $a_1+a_{2020}=4r+2023r=2027r$ , de unde $T=\dfrac{2026}{2027}$ . $S$ este suma a $2026$ termeni ai unei progresii geometrice cu rația $-T$ : $S=\dfrac{1-(-T)^{2026}}{1+T}=\dfrac{1-T^{2026}}{1+\frac{2026}{2027}}=\dfrac{2027}{4053}\left[1-\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}\right]$ .
Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=-3x^2+(m-1)x+2$ . Mulțimea valorilor lui $m\in\mathbb{R}$ astfel încât $f$ să fie strict descrescătoare pe intervalul $[2,\infty)$ este:
1. $(-\infty,13]$
2. $(-\infty,14]$
3. $\emptyset$
4. $[12,+\infty)$
5. $[13,+\infty)$
Coeficientul lui $x^2$ este negativ, deci $f$ este strict descrescătoare pe $\left[x_V,\infty\right)$ , cu $x_V=\dfrac{m-1}{6}$ . Condiția $[2,\infty)\subseteq[x_V,\infty)$ înseamnă $\dfrac{m-1}{6}\le2$ , adică $m\le13$ : $m\in(-\infty,13]$ .
Dacă $f:[0,3]\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\begin{cases}2x, & x\in[0,1)\\ e^{-1}+2-xe^{-x^2}, & x\in[1,3]\end{cases}$ atunci $\displaystyle\int_{\frac12}^{2}f(x)\,dx$ este:
1. $\dfrac{11}{4}-\dfrac{1}{2}\left(3e^{-1}-e^{-4}\right)$
2. $\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\left(e^{-1}-3e^{-4}\right)$
3. $\dfrac{11}{4}+\dfrac{1}{2}\left(2e^{-1}-e^{-4}\right)$
4. $\dfrac{11}{4}+\dfrac{1}{2}\left(e^{-1}+e^{-4}\right)$
5. $\dfrac{13}{4}-\dfrac{1}{2}\left(2e^{-1}+e^{-4}\right)$
Împărțim integrala în $x=1$ : $\displaystyle\int_{\frac12}^{1}2x\,dx=1-\dfrac14=\dfrac34$ și $\displaystyle\int_1^2\left(e^{-1}+2-xe^{-x^2}\right)dx=e^{-1}+2+\left.\dfrac{e^{-x^2}}{2}\right|_1^2=e^{-1}+2+\dfrac{e^{-4}-e^{-1}}{2}$ Suma este $\dfrac{11}{4}+\dfrac12\left(e^{-1}+e^{-4}\right)$ .

Mulțimea valorilor $m\in\mathbb{R}$ pentru care logaritmul $\log_{0{,}5}\left(x^2-2(m+3)x+m^2-3\right)$ este definit pentru orice $x\in\mathbb{R}$ este:
1. $\left(-\infty,-\dfrac{11}{6}\right)$
2. $(-\infty,-2)$
3. $\left\{-\dfrac{11}{6}\right\}$
4. $(-\infty,-3)$
5. $\emptyset$
Logaritmul e definit pentru orice $x$ dacă $x^2-2(m+3)x+m^2-3>0$ pentru orice $x\in\mathbb{R}$ , adică $\Delta<0$ : $\dfrac{\Delta}{4}=(m+3)^2-(m^2-3)=6m+12<0$ , deci $m<-2$ . Mulțimea este $(-\infty,-2)$ .
Abscisa $x$ a maximului funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\min\{x+2,\,-2x+2\}$ , este:
1. $0$
2. $2$
3. $1$
4. $\sqrt{2}$
5. $\dfrac{1}{2}$
$x+2\le -2x+2 \Leftrightarrow x\le 0$ , deci $f(x)=x+2$ pentru $x\le0$ (crescătoare) și $f(x)=-2x+2$ pentru $x>0$ (descrescătoare). Maximul se atinge în $x=0$ , unde $f(0)=2$ .
Se consideră $(a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ o progresie aritmetică de rație $r$ număr real nenul și $T=\dfrac{a_{2023}}{a_1+a_{2020}}$ . Dacă $a_1=4r$ și $S=1-T+T^2-T^3+\ldots+T^{2024}-T^{2025}$ , atunci $S$ este:
1. $\dfrac{2027}{4053}\left[\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}+1\right]$
2. $2027\left[1-\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}\right]$
3. $\dfrac{4053}{2027}\left[1-\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}\right]$
4. $\dfrac{2027}{4053}\left[1-\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}\right]$
5. $\dfrac{2027}{4053}\left[\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}-1\right]$
$a_n=a_1+(n-1)r=(n+3)r$ , deci $a_{2023}=2026r$ și $a_1+a_{2020}=4r+2023r=2027r$ , de unde $T=\dfrac{2026}{2027}$ . $S$ este suma a $2026$ termeni ai unei progresii geometrice cu rația $-T$ : $S=\dfrac{1-(-T)^{2026}}{1+T}=\dfrac{1-T^{2026}}{1+\frac{2026}{2027}}=\dfrac{2027}{4053}\left[1-\left(\dfrac{2026}{2027}\right)^{2026}\right]$ .
Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=-3x^2+(m-1)x+2$ . Mulțimea valorilor lui $m\in\mathbb{R}$ astfel încât $f$ să fie strict descrescătoare pe intervalul $[2,\infty)$ este:
1. $(-\infty,13]$
2. $(-\infty,14]$
3. $\emptyset$
4. $[12,+\infty)$
5. $[13,+\infty)$
Coeficientul lui $x^2$ este negativ, deci $f$ este strict descrescătoare pe $\left[x_V,\infty\right)$ , cu $x_V=\dfrac{m-1}{6}$ . Condiția $[2,\infty)\subseteq[x_V,\infty)$ înseamnă $\dfrac{m-1}{6}\le2$ , adică $m\le13$ : $m\in(-\infty,13]$ .
Dacă $f:[0,3]\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\begin{cases}2x, & x\in[0,1)\\ e^{-1}+2-xe^{-x^2}, & x\in[1,3]\end{cases}$ atunci $\displaystyle\int_{\frac12}^{2}f(x)\,dx$ este:
1. $\dfrac{11}{4}-\dfrac{1}{2}\left(3e^{-1}-e^{-4}\right)$
2. $\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\left(e^{-1}-3e^{-4}\right)$
3. $\dfrac{11}{4}+\dfrac{1}{2}\left(2e^{-1}-e^{-4}\right)$
4. $\dfrac{11}{4}+\dfrac{1}{2}\left(e^{-1}+e^{-4}\right)$
5. $\dfrac{13}{4}-\dfrac{1}{2}\left(2e^{-1}+e^{-4}\right)$
Împărțim integrala în $x=1$ : $\displaystyle\int_{\frac12}^{1}2x\,dx=1-\dfrac14=\dfrac34$ și $\displaystyle\int_1^2\left(e^{-1}+2-xe^{-x^2}\right)dx=e^{-1}+2+\left.\dfrac{e^{-x^2}}{2}\right|_1^2=e^{-1}+2+\dfrac{e^{-4}-e^{-1}}{2}$ Suma este $\dfrac{11}{4}+\dfrac12\left(e^{-1}+e^{-4}\right)$ .

Matematică #093 Admitere ASE CSIE 2026 iulie