Dacă log_2(2^-x+1+1)=x, x∈ℝ, atunci:

C) x∈(0,+∞). Ecuația devine 2^1-x+1=2^x. Cu t=2^x>0: (2)/(t)+1=t⇔ t^2-t-2=0, deci t=2 și x=1. Singura variantă care conține soluția x=1 este x∈(0,+∞).

Dacă S=1+dfrac12+dfrac12^2+…+dfrac12^2025, atunci:

A) S∈(1,2). Suma unei progresii geometrice cu rația dfrac12 și 2026 termeni: S=dfrac1-(frac12)^20261-frac12=2-dfrac12^2025, deci 1<S<2.

Se consideră a_1,c_1,a_2,c_2,a_3,c_3∈(0,+∞) și determinanții: Δ_1=a_1-c_1, Δ_2= a_1-c_1 a_2; a_1 a_2-c_2, Δ_3= a_1-c_1 a_2 a_3; a_1 a_2-c_2 a_3; a_1 a_2 a_3-c_3. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

A) Dacă Δ_3 0. Scăzând prima linie din celelalte și dezvoltând, se obține Δ_k=(-1)^k c_1… c_k(1-Σ_i≤ k(a_i)/(c_i)). Deci Δ_3 0, de unde, cum (a_3)/(c_3)>0, și 1-(a_1)/(c_1)-(a_2)/(c_2)>0, adică Δ_2>0. Celelalte implicații nu au loc: de exemplu Δ_2>0 nu fixează semnul lui Δ_3, iar Δ_1<0 nu fixează semnul lui Δ_2.

Grile Funcția de gradul al II-lea · Matematică admitere ASE 2025

Dacă $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $2x^2+4x-1=0$ , atunci $x_1^{-3}+x_2^{-3}$ este egal cu:

$-88$
$78$
$40$
$88$
$-40$

Din relațiile lui Viète,

s=x_1+x_2=-2

și

p=x_1x_2=-\dfrac12

. Atunci

x_1^3+x_2^3=s^3-3ps=-8-3=-11

și

x_1^{-3}+x_2^{-3}=\dfrac{x_1^3+x_2^3}{p^3}=\dfrac{-11}{-\frac18}=88

.

Dacă graficul funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2+mx-m$ , $m\in\mathbb{R}$ , intersectează axa $Ox$ în două puncte situate la distanța $2$ unul față de celălalt, atunci:

$m\in\left\{-2-3\sqrt2,\ -2+3\sqrt2\right\}$
$m\in\left\{-2-4\sqrt2,\ -2+4\sqrt2\right\}$
$m\in\left\{2-\sqrt2,\ 2+\sqrt2\right\}$
$m\in\left\{-2-2\sqrt2,\ -2+2\sqrt2\right\}$
$m\in\left\{2-3\sqrt2,\ 2+3\sqrt2\right\}$

Distanța dintre punctele de intersecție este

|x_1-x_2|=\sqrt{\Delta}=\sqrt{m^2+4m}

. Din

m^2+4m=4

rezultă

m^2+4m-4=0

, deci

m=-2\pm2\sqrt2

(ambele dau

\Delta=4>0

).

Dacă $\log_2\left(2^{-x+1}+1\right)=x$ , $x\in\mathbb{R}$ , atunci:

$x\in(2,+\infty)$
$x\in(1,+\infty)$
$x\in(0,+\infty)$
$x\in(1,2)$
$x\in(1,2]$

Ecuația devine

2^{1-x}+1=2^x

. Cu

t=2^x>0

:

\dfrac{2}{t}+1=t\Leftrightarrow t^2-t-2=0

, deci

t=2

și

x=1

. Singura variantă care conține soluția

x=1

este

x\in(0,+\infty)

.

Dacă $S=1+\dfrac12+\dfrac1{2^2}+\cdots+\dfrac1{2^{2025}}$ , atunci:

$S\in(1,2)$
$S\in(0,1)$
$S\in(2,3)$
$S\in(3,4)$
$S\in(4,5)$

Suma unei progresii geometrice cu rația

\dfrac12

și

2026

termeni:

S=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{2026}}{1-\frac12}=2-\dfrac{1}{2^{2025}}

, deci

1<S<2

.

Se consideră $a_1,c_1,a_2,c_2,a_3,c_3\in(0,+\infty)$ și determinanții: $\Delta_1=a_1-c_1,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}a_1-c_1 & a_2\\ a_1 & a_2-c_2\end{vmatrix},\quad \Delta_3=\begin{vmatrix}a_1-c_1 & a_2 & a_3\\ a_1 & a_2-c_2 & a_3\\ a_1 & a_2 & a_3-c_3\end{vmatrix}.$ Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

Dacă $\Delta_3<0$ atunci $\Delta_2>0$
Dacă $\Delta_3<0$ atunci $\Delta_2<0$
Dacă $\Delta_2>0$ atunci $\Delta_3<0$
Dacă $\Delta_2>0$ atunci $\Delta_3>0$
Dacă $\Delta_1<0$ atunci $\Delta_2>0$

Scăzând prima linie din celelalte și dezvoltând, se obține

\Delta_k=(-1)^k c_1\cdots c_k\left(1-\sum_{i\le k}\dfrac{a_i}{c_i}\right)

Deci

\Delta_3<0\Leftrightarrow 1-\dfrac{a_1}{c_1}-\dfrac{a_2}{c_2}-\dfrac{a_3}{c_3}>0

, de unde, cum

\dfrac{a_3}{c_3}>0

, și

1-\dfrac{a_1}{c_1}-\dfrac{a_2}{c_2}>0

, adică

\Delta_2>0

. Celelalte implicații nu au loc: de exemplu

\Delta_2>0

nu fixează semnul lui

\Delta_3

, iar

\Delta_1<0

nu fixează semnul lui

\Delta_2

.

Matematică #094 Admitere ASE CSIE 2025 iulie